Développement limité

1. Idée générale

Un développement limité (DL) permet d’approximer une fonction $f(x)$ par un polynôme au voisinage d’un point $a$ :

\(
f(x) \approx\)\( c_0 + c_1(x-a) + \cdots + c_n (x-a)^n.
\)

Cette approximation provient des dérivées successives de $f$ en $a$.

2. Formule de Taylor

Formule générale

Si $f$ est suffisamment régulière :
\(
f(x)=\)\( f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2\)\( + \cdots\)\( + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
\)

Différentes formes du reste:

Reste intégral :

\[
R_n(x) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n dt
\]

Reste de Lagrange :

\[
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
\]

Formule de Taylor-Young :

\[
R_n(x) = (x-a)^n \varepsilon(x), \, \varepsilon(x)\to 0
\]

3. Développement limité (DL)

Définition
$f$ admet un DL en $a$ à l’ordre $n$ si :
\(
f(x) =\)\( c_0 + c_1(x-a) + \)\(\cdots\)\( + c_n(x-a)^n + (x-a)^n \varepsilon(x)
\)
avec $\varepsilon(x)\to 0$.

Lien avec Taylor

\[
c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}
\]

Notation petit o

\(
f(x) =\)\( c_0 + c_1(x-a) +\)\( \cdots + c_n(x-a)^n + o((x-a)^n)
\)

4. DL usuels en 0

\(
e^x =\)\( 1 + x + \frac{x^2}{2!} +\)\( \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)
\)

\(
\ln(1+x) =\)\( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\)\( \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)
\)

\(
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^n)
\)

\(
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^n)
\)

\(
(1+x)^\alpha =\)\( 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 +\)\( \cdots + o(x^n)
\)

5. Propriétés

Unicité : le DL est unique.

Parité :

fonction paire $\Rightarrow$ puissances paires uniquement.
fonction impaire $\Rightarrow$ puissances impaires uniquement.

Régularité :

DL $\Rightarrow$ continuité et dérivabilité locale.

6. Opérations sur les DL

Somme
\[
(f+g)(x) = \text{somme des DL}
\]
Produit
On multiplie les polynômes puis on tronque à l’ordre voulu.
Composition
Si $g(0)=0$ :
\[
f\circ g(x) = f(g(x))
\]
Quotient
\[
\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots
\]

7. Intégration

Si $f(x)$ admet un DL :
\[
F(x) = \int f(x)dx
\]
alors on intègre terme à terme :
\(
F(x) = F(a) + c_0(x-a) +\)\( \frac{c_1}{2}(x-a)^2 + \cdots
\)

8. Applications

Calcul de limites
On remplace la fonction par son DL et on garde le terme dominant.

Position par rapport à la tangente}
\(
f(x) =\)\( f(a) + f'(a)(x-a) +\)\( c_k (x-a)^k + \cdots
\)
Le signe de $c_k(x-a)^k$ donne la position.

Asymptotes (DL en $\infty$)
\[
f(x) = a_0 x + a_1 + \frac{a_2}{x} + \cdots
\]
Alors $y = a_0 x + a_1$ est asymptote.

9. Conclusion

Les développements limités permettent :

approximation locale;

calcul de limites;

étude de courbes;

détermination d’asymptotes.

La formule de Taylor-Young est la plus utilisée en pratique.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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