L’objectif de ce chapitre sur le calcul approché d'intégrales est de voir quelques méthodes (simples) de calcul approché d’intégrales.
Avant de voir ces différentes méthodes, il y a deux points importants qu’il s’agit de toujours avoir en tête dès que l’on parle de calcul (ou résolution) approchée : la précision de la valeur obtenue
(ou l’erreur commise) et la vitesse de convergence.

Calcul approché d'intégrales — Résumé

I. Introduction

Toute valeur approchée doit être accompagnée d'une erreur maximale. Une valeur
seule ne signifie rien : tout nombre est une valeur approchée d'un autre, la question est
de savoir « à combien près ».

La vitesse de convergence indique combien d'étapes sont nécessaires pour
atteindre la précision souhaitée.

II. Méthode des rectangles

Sommes de Riemann

Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continue par morceaux et $\sigma^p$ une subdivision pointée
de $[a,b]$. La somme de Riemann associée est :
$$S_{\sigma^p}(f) = \sum_{i=0}^{k-1} f(x_i)(a_{i+1}-a_i).$$
Si $|\sigma^p_n|\to 0$ alors $S_{\sigma^p_n}(f)\to\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Rectangles à gauche et à droite

On découpe $[a,b]$ en $n$ intervalles égaux de longueur $\tfrac{b-a}{n}$,
avec $a_k = a + \tfrac{k(b-a)}{n}$.
$$S^g_n = \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a+\frac{k}{n}(b-a)\right),$$
$$S^d_n = \frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(a+\frac{k}{n}(b-a)\right).$$
Majoration de l'erreur (f de classe $C^1$, $M_1 = \sup|f'|$) :
$$\left|\int_a^b f(x)\,dx - S^g_n\right| \leq \frac{M_1(b-a)^2}{2n}, $$
$$\text{idem pour } S^d_n. \quad \text{Erreur en } O\!\left(\tfrac{1}{n}\right).$$

Méthode du point milieu

On prend $x_k = m_k = \tfrac{a_k+a_{k+1}}{2}$ (milieu de chaque intervalle) :
$$S^m_n = \frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(m_k).$$
Majoration de l'erreur (f de classe $C^2$, $M_2 = \sup|f''|$) :
$$\left|\int_a^b f(x)\,dx - S^m_n\right| \leq \frac{M_2(b-a)^3}{24n^2}. \quad\text{Erreur en } O\!\left(\tfrac{1}{n^2}\right).$$
La méthode est exacte pour les fonctions affines ($M_2=0$), grâce à une
compensation partielle des erreurs au sein de chaque intervalle
($\int_{a_k}^{a_{k+1}}(x-m_k)\,dx = 0$).

III. Méthode des trapèzes

Sur chaque $[a_k, a_{k+1}]$ on approche $f$ par la fonction affine $f_k$
interpolant $f$ en $a_k$ et $a_{k+1}$. L'intégrale de $f_k$ est l'aire du trapèze :
$$\int_{a_k}^{a_{k+1}} f_k(x)\,dx = \frac{b-a}{2n}\bigl(f(a_k)+f(a_{k+1})\bigr).$$
La formule globale est :
$$T_n = \frac{b-a}{2n}\left(f(a) + 2\sum_{k=1}^{n-1}f(a_k) + f(b)\right).$$
On remarque que $T_n = \dfrac{S^g_n + S^d_n}{2}$.

Majoration de l'erreur (f de classe $C^2$, $M_2 = \sup|f''|$) :
$$\left|\int_a^b f(x)\,dx - T_n\right| \leq \frac{M_2(b-a)^3}{12n^2}.
\quad \text{Erreur en } O\!\left(\tfrac{1}{n^2}\right).$$
La méthode des trapèzes est environ deux fois moins précise que le point milieu
(constante $\tfrac{1}{12}$ contre $\tfrac{1}{24}$), mais toutes deux sont en $O(1/n^2)$.

IV. Méthode de Simpson

Sur chaque $[a_k, a_{k+1}]$ on approche $f$ par le polynôme de degré $\leq 2$
interpolant $f$ en $a_k$, $m_k$ et $a_{k+1}$ (polynôme de Lagrange). On obtient :
$$\int_{a_k}^{a_{k+1}} P(x)\,dx = \frac{b-a}{6n}\bigl(f(a_k)+4f(m_k)+f(a_{k+1})\bigr).$$
La formule globale est :
$$S_n = \frac{b-a}{6n}\sum_{k=0}^{n-1}\bigl(f(a_k)+4f(m_k)+f(a_{k+1})\bigr).$$
Majoration de l'erreur (f de classe $C^4$, $M_4 = \sup|f^{(4)}|$) :
$$\left|\int_a^b f(x)\,dx - S_n\right| \leq \frac{M_4(b-a)^5}{2880\,n^4}.
\quad \text{Erreur en } O\!\left(\tfrac{1}{n^4}\right).$$
La méthode de Simpson est exacte pour les polynômes de degré $\leq 3$
(car $f^{(4)}=0 \Rightarrow M_4=0$), bien qu'on approche $f$ par un polynôme de degré 2.

V. Tableau comparatif

$$\begin{array}{|lccc|}
\hline
\text{Méthode} & \text{Régularité} & \text{Erreur} & \text{Exacte pour} \\
\hline
\text{Rectangles (g/d)} & C^1 & O(1/n) & \text{constantes} \\
\text{Point milieu} & C^2 & O(1/n^2) & \text{affines} \\
\text{Trapèzes} & C^2 & O(1/n^2) & \text{affines} \\
\text{Simpson} & C^4 & O(1/n^4) & \text{degré} \leq 3 \\
\hline
\end{array}$$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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