Approximation polynomiale

Les méthodes de calcul approché d’intégrales reposent sur le fait de “remplacer” la fonction f que l’on souhaite intégrer par un polynôme P et d’approcher l’intégrale de f par celle de P. Dans ce chapitre on étudie plus en détails la notion d’approximation polynomiale.

1. Interpolation de Lagrange

Existence et unicité du polynôme d’interpolation

Soient \(a_0,\dots,a_n\) des points distincts de \([a,b]\) et \(y_0,\dots,y_n\) des réels. Il existe un unique polynôme \(P_n \in \mathbb{R}_n[X]\) tel que \(P_n(a_i)=y_i\) pour tout \(i\). Il est donné par
\[
P_n(X)=\sum_{i=0}^n y_i\,L_i(X),\]\[
L_i(X)=\prod_{j\neq i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}.
\]
Erreur d’approximation

Soit \(f\in C^{n+1}([a,b])\) et \(P_n\) son polynôme d’interpolation aux nœuds \(a_0,\dots,a_n\). Pour tout \(x\in[a,b]\) il existe \(\xi\in[a,b]\) tel que
\[
f(x)-P_n(x)=\frac{\omega_A(x)}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\xi),\]\[
\omega_A(x)=\prod_{i=0}^n(x-a_i).
\]
Par suite,
\[
\|f-P_n\|_\infty\le\frac{1}{(n+1)!}\|\omega_A\|_\infty\|f^{(n+1)}\|_\infty.
\]
Stabilité : constante de Lebesgue

Soit \(\varphi_n:C^0([a,b])\to\mathbb{R}_n[X]\) l’application qui à \(f\) associe son polynôme d’interpolation. Alors \(\varphi_n\) est linéaire continue et sa norme d’opérateur vaut
\[
\Lambda_n=\Bigl\|\sum_{i=0}^n|L_i|\Bigr\|_\infty.
\]
Pour des points équidistants, \(\Lambda_n\sim\frac{2^{n+1}}{\ln n}\), ce qui peut rendre l’approximation instable.

2. Approximation \(L^2\) et polynômes orthogonaux

Meilleure approximation dans une norme quelconque

Pour toute norme sur \(C^0([a,b])\) et pour tout \(n\) il existe au moins un polynôme de meilleure approximation dans \(\mathbb{R}_n[X]\) (théorème d’existence). L’unicité dépend de la norme.

Théorème de Weierstrass

Pour toute fonction continue \(f\) sur \([a,b]\) il existe une suite de polynômes \((P_n)\) telle que \(\|f-P_n\|_\infty\to0\). Une construction explicite utilise les polynômes de Bernstein.

Approximation \(L^2\)

La norme \(\|f\|_2=\bigl(\int_a^b f(x)^2\,dx\bigr)^{1/2}\) provient du produit scalaire \(\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\,dx\). Pour tout \(f\) continu et tout \(n\) il existe un unique polynôme \(P_n\in\mathbb{R}_n[X]\) réalisant
\[
\|f-P_n\|_2=\inf_{Q\in\mathbb{R}_n[X]}\|f-Q\|_2.
\]
Il est caractérisé par
\[
\langle f-P_n,Q\rangle=0\quad\forall Q\in\mathbb{R}_n[X],
\]
c’est-à-dire que \(P_n\) est la projection orthogonale de \(f\) sur \(\mathbb{R}_n[X]\). De plus \(\|f-P_n\|_2\to0\) quand \(n\to\infty\).

Polynômes orthogonaux

Il existe une unique suite \((p_n)\) de polynômes telle que
– \(p_n\) est unitaire de degré \(n\) ;
– \(\langle p_n,p_m\rangle=0\) pour \(n\neq m\).

Pour l’intervalle \([-1,1]\) on obtient les polynômes de Legendre :

\(p_0(x)=1,\;\) \(p_1(x)=x,\;\) \(p_2(x)=x^2-\frac13,\,\dots\)

Pour un intervalle quelconque \([a,b]\) on les transpose par un changement de variable affine.

Expression de la meilleure approximation \(L^2\)

Soit \((p_n)\) la famille orthogonale précédente. Alors
\[
P_n=\sum_{k=0}^n\frac{\langle f,p_k\rangle}{\|p_k\|_2^2}\,p_k,
\]
et on a la convergence \(f=\sum_{k=0}^\infty\frac{\langle f,p_k\rangle}{\|p_k\|_2^2}p_k\) dans \(L^2([a,b])\).

Remarque : les polynômes orthogonaux dépendent de l’intervalle et, plus généralement, d’un poids \(w(x)\).

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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