Examen de fin de 1er Semestre Mathématiques III

Résumé de l’examen de Mathématiques III – BAT2-ELT2 (1er semestre)
Durée : 2 heures
L’épreuve est composée de deux exercices indépendants, notés chacun sur 10 points.

Exercice 1 – Étude d’une application linéaire de \(R^2\) dans \(R^2\).

Linéarité : On vérifie que l’application \(f(x,y)=(x+y,x−y)\) est linéaire.

Noyau et image : On détermine le noyau (ensemble des vecteurs dont l’image est nulle) et l’image de \(f\).
On en déduit si \(f\) est un automorphisme (c’est-à-dire bijectif).

Matrice dans la base canonique : On écrit la matrice \(M\) représentant \(f\).

Symétrie : On examine si cette matrice est symétrique.

Inverse : On calcule l’inverse \(M^{-1}\) par deux méthodes différentes.

Exercice 2 – Endomorphisme de \(R^3\) et diagonalisation.

Sous-espace des points fixes : On considère l’endomorphisme \(f\) donné par une matrice \(A\). On détermine l’ensemble des vecteurs \(X\) tels que \(f(X)=X\) (points fixes) et on en donne une base \(U\).

Images de vecteurs : On calcule les images de deux vecteurs donnés \(u\) et \(v\).

Nouvelle base : On montre que la famille \(\{u,v,w\}\) (où \(u\) est un vecteur de la base \(U\)) forme une base de \(R^3\).

Matrice de passage : On détermine la matrice \(P\) de passage de la base canonique à cette nouvelle base, ainsi que son inverse \(P^{-1}\).

Matrice de \(f\) dans la nouvelle base : On calcule la matrice \(D\) de \(f\) dans cette base.

Relation entre matrices : On vérifie que \(A=PDP^{-1}\).

Puissances de \(A\): On en déduit une formule pour \(A^n\) pour tout entier naturel \(n\).

Ce épreuve met en évidence les notions clés : algèbre linéaire, matrices, changements de base, calcul de puissances, et propriétés des endomorphismes.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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