Contrôle Continu Maths III - MSI 2

$\textbf{CC Maths III - MSI 2}$
$\texttt{Institut Universitaire Siantou}$

L'épreuve comporte deux exercices indépendants.
La précision et la clarté dans la rédaction seront prises en compte dans l'évaluation des copies.

Exercice 1 (14 points)

Le développement en série de Fourier d'un signal $f$ continu et périodique
est donné pour tout réel $t$ par :
\[
F(t) \;=\; \frac{\pi^2}{6} - \frac{t^2}{2}
+ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(2nt)}{n^2}.
\]

$\circ$ Justifier la convergence de $F$ sur $\mathbb{R}$. $\textit{(2 pts)}$

$\circ$ Déterminer la période de $f$. $\textit{(1 pt)}$

$\circ$ En supposant que $f$ satisfait aux conditions de Dirichlet,
démontrer que $f$ est un signal pair. $\textit{(2 pts)}$

$\circ$ Justifier la convergence des séries numériques de termes généraux respectifs :
\[
U_n = \frac{1}{n^2}, \qquad
V_n = \frac{(-1)^n}{n^2}, \text{ et }\]
\[ W_n = \frac{1}{n^4}.\]
$\textit{(3 pts)}$

$\circ$ On donne $f(0) = 0$ et $f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi^2}{4}$.
En déduire les sommes des séries numériques :
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} U_n \qquad \text{et} \qquad
\sum_{n=1}^{+\infty} V_n.
\]
$\textit{(3 pts)}$

$\circ$ On pose $\displaystyle K = \int_0^{\pi} f^2(t)\,dt$.
Sachant que $\displaystyle K = \frac{\pi^5}{30}$,
calculer en justifiant la somme :
\[
A = \sum_{n=1}^{+\infty} W_n.
\]
$\textit{(3 pts)}$

Exercice 2 (6 points)}

On donne le système d'équations différentielles suivant :
\[
(S) \;:\;
\begin{cases}
x' = -5x \\[4pt]
y' = \phantom{-}5x
\end{cases}
\]
où $x$ et $y$ sont des fonctions d'une variable réelle $t$.
$x'$ et $y'$ désignent les dérivées par rapport à $t$ de $x$ et de $y$
respectivement. On prendra $x(0) = 3$ et $y(0) = 0$.

$\circ$ Écrire la transformée de Laplace correspondant au système $(S)$.
$\textit{(2 pts)}$
Puis résoudre le nouveau système obtenu. $\textit{(2 pts)}$

$\circ$ En déduire les solutions du système $(S)$. $\textit{(2 pts)}$

Sujet Proposé par:
Samuel Mouchili
Enseignant de Mathématiques

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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