Polynômes et Fractions Rationnelles

Ces exercices vous permettront de vous démarquer positivement des étudiants moyens et d'atteindre l'excellence visée. Notez que ces exercices ne sont pas corrigés. Ils vous permettront à coup sûr de maitriser la notion sur les fractions rationnelles.

$\texttt{Travaux Dirigés}$
$\textbf{Exercice 1}$
On donne les polynômes $P$, $Q$ et $R$ définis par :
\[
P(X)=2+3X+X^2+X^3, \]
\[Q(X)=4i-X+(3-i)X^2, \]
\[R(X)=X^4+2X^2+1.
\]
$\circ$ Pour chacun des polynômes $P$, $Q$ et $R$, déterminer le degré, la valuation, le terme dominant et le terme constant.

$\circ$ Déterminer le degré et la valuation des polynômes $P+Q$, $PQ$ et $P-R$.

$\circ$ Déterminer le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$, et de $R$ par $P$.

$\circ$ Factoriser le polynôme $R$ dans $\mathbb{R}[X]$, puis dans $\mathbb{C}[X]$.

$\textbf{Exercice 2}$

Décomposer le polynôme
\[
P(X)=X^6-1
\]
en facteurs irréductibles dans $\mathbb{C}[X]$, puis dans $\mathbb{R}[X]$.

$\textbf{Exercice 3}$

On considère la fraction rationnelle $R$ définie par :
\[
R(X)=\frac{X^2-3X+2}{X^4-1}.
\]
$\circ$ Déterminer la condition d’existence de $R$.
$\circ$ Les polynômes du numérateur et celui du dénominateur de $R$ sont-ils premiers entre eux ?
Justifier votre réponse.
$\circ$ Écrire $R$ sous sa forme irréductible et déterminer la nature de ses pôles.
$\circ$ Décomposer $R$ en éléments simples sur $\mathbb{R}(X)$, puis dans $\mathbb{C}(X)$.

$\textbf{Exercice 4}$
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles $A$, $B$, $D$ et $F$ dans $\mathbb{C}(X)$ puis dans $\mathbb{R}(X)$.
\[
A(X)=\frac{X^4+1}{X^3-1},
\]
\[
B(X)=\frac{4}{(X^2-1)^2},
\]
\[
D(X)=\frac{X^3+1}{X(X-1)(X^2+1)^2},
\]
\[
F(X)=\frac{2X^7+X^6-X^3+3}{(X^2+X+1)^3}.
\]


TD Polynômes et fractions rationnelles
Samuel MOUCHILI, Enseignant
$\texttt{samuel.mouchili14@gmail.com}$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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