Fonctions à plusieurs variables

Ici vous avez un ensemble de huit exercices avec correction chacun. Après ces exercices vous ne serez plus pareil en ce qui concerne les fonctions à plusieurs variables.

Exercice 1.
Montrer d'après la définition que la fonction
\[
f(x, y) = x^2 + y^2
\]
est différentiable dans $\mathbb{R}^2$. Calculer la différentielle.

Exercice 2.
Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par
\[
f(x, y) = x\,e^{xy}.
\]
Est-elle différentiable au point $(1, 0)$ ? Si oui, linéariser $f$ au voisinage de $(1, 0)$
et approcher la valeur $f(1{,}1,\,-0{,}1)$.

Exercice 3.
Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par
\[
f(x, y) = x^3 - y^3.
\]
Dire si le graphe de $f$,
\[
\mathcal{G}_f = \bigl\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x,y)\bigr\},
\]
admet un plan tangent au point $(0, 1, -1)$ et, le cas échéant, donner l'équation du plan.

Exercice 4.
Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par
\[
f(x, y) =
\begin{cases}
\dfrac{x^2 y^3}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0), \\[8pt]
0 & \text{sinon.}
\end{cases}
\]
$\circ$ Est-elle continue dans $\mathbb{R}^2$ ?
$\circ$ Est-elle dérivable dans $\mathbb{R}^2$ ?
$\circ$ Est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ dans $\mathbb{R}^2$ ?
$\circ$ Est-elle différentiable dans $\mathbb{R}^2$ ?

Exercice 5.
Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par
\[
f(x, y) =
\begin{cases}
\dfrac{y}{x^2 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0), \\[8pt]
0 & \text{sinon.}
\end{cases}
\]
$\circ$ Est-elle continue dans $\mathbb{R}^2$ ?
$\circ$ Est-elle dérivable dans $\mathbb{R}^2$ ?
$\circ$ Est-elle différentiable dans $\mathbb{R}^2$ ?

Exercice 6.
Une étude des glaciers a montré que la température $T$ à l'instant $t$ (mesuré en jours)
et à la profondeur $x$ (mesuré en pieds) peut être modélisée par
\[
T(x, t) = T_0 + T_1\,e^{-\lambda x}\sin(\omega t - \lambda x),
\]
où $\omega = \dfrac{2\pi}{365}$, $\lambda > 0$ et $T_1 \neq 0$.

$\circ$ Calculer $\partial_x T$ et $\partial_t T$.
$\circ$ Montrer que $T$ vérifie l'équation de la chaleur
$\partial_t T = k\,\partial_{xx} T$ pour un certain $k \in \mathbb{R}$.

Exercice 7.
Soit $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ la fonction définie par
\[
f(x, y, z) = x^3 y + x^2 - y^2 - x^4 + z^5.
\]
Après vérification de la validité du théorème de Schwarz, calculer la matrice hessienne de $f$.

Exercice 8.
Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ la fonction définie par
\[
f(x, y) = \sin x \sin y.
\]
Écrire le polynôme de Taylor d'ordre 2 de $f$ au voisinage du point $(0, 0)$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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