Mathématiques

Génie Logiciel, BTS 2016


REPUBLIQUE DU CAMEROUN

REPUBLIC OF CAMEROON

Paix-Travail-Patrie — Peace-Work-Fatherland

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

MINISTRY OF HIGHER EDUCATION

COMMISSION NATIONALE D’ORGANISATION

NATIONAL COMMISSION FOR

DE L’EXAMEN NATIONAL DU BREVET

THE ORGANIZATION

DE TECHNICIEN SUPERIEUR (BTS)

OF BTS EXAM

Examen National Du Brevet De Technicien Supérieur - Session 2016

Spécialité/Option: GENIE INFORMATIQUE

Épreuve écrite : MATHEMATIQUES

Coef. : 05

Durée: 5 heures

L’usage des instruments de calcul (calculatrices non programmables et tables des lois) est autorisé.

La qualité de la rédaction, la présentation et la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

EXERCICE I : Algèbre linéaire (4 Points)

On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est :

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-3 & 0 & -1 \\
3 & 2 & 3
\end{pmatrix}
\]

1. Déterminer \(P_A(\lambda)\) le polynôme caractéristique de \(A\) et en déduire que \(P_A(A) = 0\), où \(0\) désigne la matrice nulle. (1,5 pt)


2. Déterminer une matrice \(P\) inversible et une matrice diagonale \(D\) telle que : \(D = P^{-1}AP\). (1,5 pt)


3. Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), exprimer \(A^n\) en fonction de \(n\). (1 pt)

EXERCICE II : Analyse (5 Points)

I. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \arctan\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\). On note \(C_f\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé \((O; \vec{i}, \vec{j})\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et montrer que \(f\) est périodique. (1 pt)


2. Montrer que l’on peut réduire l’intervalle d’étude de \(f\) à l’intervalle \(I = [0, \pi]\). Puis préciser comment obtenir la totalité de la courbe \(C_f\) à partir de l’étude de \(f\) sur \(I\). (1 pt)


3. Étudier \(f\) sur \(I\), puis tracer \(C_f\) sur l’intervalle \(]-\pi; \pi[\). (1,5 pt)

II. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels et \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) la fonction continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(\forall x \in \mathbb{R},\; g(a+b-x) = g(x)\).

1. Interpréter géométriquement cette propriété. (0,5 pt)


2. Prouver que \(\displaystyle \int_a^b t\, g(t)\, dt = \frac{a+b}{2} \int_a^b g(t)\, dt\). (1 pt)


3. En déduire la valeur de \(\displaystyle I = \int_0^\pi \frac{t}{1+\sin t}\, dt\). (1 pt)

EXERCICE III : Probabilité – Statistique (5,5 Points)

I. On répartit les familles suivant le nombre de garçons \(X\) et le nombre de filles \(Y\). Le tableau suivant donne une distribution conjointe de \(X\) et \(Y\) :

\(X \setminus Y\)	0	1	2	3
0	0,15	0,10	0,05	0,1
1	0,1	0,2	0,2	0,1

1. Déterminer les lois marginales de \(X\) et de \(Y\). (0,5 pt)


2. Calculer le nombre moyen de filles par famille. (0,5 pt)


3. Déterminer la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X = 2\). (0,5 pt)


4. Calculer l’espérance conditionnelle de \(Y\) sachant \(X = 2\). (0,25 pt)

II. Dans le cadre d’une étude sur l’organisation des entreprises, on dispose d’un échantillon de 4524 établissements répartis en 3019 dans l’industrie et 1505 dans le commerce. On constate que 839 établissements industriels et 402 établissements de commerce utilisent un progiciel de gestion intégrée.

1. Quelles sont les proportions d’établissements utilisateurs d’un tel progiciel dans chacune des deux populations ? (0,5 pt)


2. On examine la répartition de l’usage d’un progiciel de gestion intégrée selon le type de biens concernés. On obtient le tableau suivant :

Type de biens	Proportion
Produits	0,35
Matériel	0,30
Machines	0,20
Outils	0,10
Services	0,05

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Résumé du document

Ce document est un sujet d’examen national du BTS (Cameroun, session 2016) pour la spécialité Génie Informatique, épreuve de Mathématiques (coefficient 5, durée 5 heures). Il comprend trois exercices.

L’Exercice I (algèbre linéaire) traite de la diagonalisation d’une matrice \(A\) (endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\)). On demande le polynôme caractéristique, la vérification du théorème de Cayley‑Hamilton, la détermination de \(P\) et \(D\) telles que \(D = P^{-1}AP\), et l’expression de \(A^n\).

L’Exercice II (analyse) se compose de deux parties indépendantes. La première partie étudie la fonction \(f(x)=\arctan\sqrt{(1-\cos x)/(1+\cos x)}\) : domaine, périodicité, réduction de l’intervalle d’étude à \([0,\pi]\) et tracé de la courbe. La seconde partie utilise une propriété de symétrie \(g(a+b-x)=g(x)\) pour établir une formule intégrale et l’appliquer au calcul de \(\int_0^\pi \frac{t}{1+\sin t}\,dt\).

L’Exercice III (probabilités et statistiques) présente d’abord un tableau de distribution conjointe de deux variables aléatoires (nombre de garçons et nombre de filles). On calcule les lois marginales, la moyenne conditionnelle, etc. Ensuite, on exploite des données réelles sur l’usage d’un progiciel de gestion intégrée dans l’industrie et le commerce, avec calcul des proportions et un tableau de répartition par type de biens.