Maths_GL2016-Corrigé

REPUBLIQUE DU CAMEROUN

REPUBLIC OF CAMEROON

Paix-Travail-Patrie --- Peace-Work-Fatherland

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

MINISTRY OF HIGHER EDUCATION

COMMISSION NATIONALE D’ORGANISATION

NATIONAL COMMISSION FOR

DE L’EXAMEN NATIONAL DU BREVET

THE ORGANIZATION

DE TECHNICIEN SUPERIEUR (BTS)

OF BTS EXAM

Examen National Du Brevet De Technicien Supérieur - Session 2016

Spécialité/Option: GENIE INFORMATIQUE

Épreuve écrite : MATHEMATIQUES

Coef. : 05

Corrigé

L’usage des instruments de calcul (calculatrices non programmables et tables des lois) est autorisé.

La qualité de la rédaction, la présentation et la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Introduction

Ce document présente une correction détaillée de l’épreuve écrite de Mathématiques du Brevet de Technicien Supérieur, session 2016, spécialité Génie Informatique. L’épreuve comporte trois exercices couvrant l’algèbre linéaire, l’analyse, et les probabilités-statistiques. Les raisonnements et calculs sont explicités pas à pas.

Exercice I : Algèbre linéaire (4 points)

On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique est :

\[
A = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-3 & 0 & -1 \\
3 & 2 & 3
\end{pmatrix}.
\]

1. Polynôme caractéristique et théorème de Cayley‑Hamilton

Le polynôme caractéristique de \(A\) est donné par \(P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_3)\).

\[
A - \lambda I_3 = \begin{pmatrix}
1 - \lambda & -2 & 1 \\
-3 & -\lambda & -1 \\
3 & 2 & 3 - \lambda
\end{pmatrix}.
\]

Calcul du déterminant (par Sarrus) :

\[
\begin{aligned}
\det(A - \lambda I_3) &= (1-\lambda)(-\lambda)(3-\lambda) + (-2)(-1)(3) + 1(-3)(2) \\
&\quad - \left[ 1(-\lambda)(3) + (-2)(-3)(3-\lambda) + (1)(-1)(2) \right] \\
&= (1-\lambda)(-\lambda)(3-\lambda) + 6 - 6 - \left[ -3\lambda + 6(3-\lambda) - 2 \right] \\
&= -\lambda(1-\lambda)(3-\lambda) - \left[ -3\lambda + 18 - 6\lambda - 2 \right] \\
&= -\lambda(1-\lambda)(3-\lambda) - \left[ -9\lambda + 16 \right].
\end{aligned}
\]

Développons : \((1-\lambda)(3-\lambda) = 3 - 4\lambda + \lambda^2\). Donc \(-\lambda(3 - 4\lambda + \lambda^2) = -3\lambda + 4\lambda^2 - \lambda^3\).

\[
\det = -3\lambda + 4\lambda^2 - \lambda^3 + 9\lambda - 16 = -\lambda^3 + 4\lambda^2 + 6\lambda - 16.
\]

On vérifie que \(P_A(\lambda) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 + 6\lambda - 16\). Pour trouver les racines, on teste \(\lambda = 2\) : \(-8 + 16 + 12 - 16 = 4 \neq 0\). Testons \(\lambda = 4\) : \(-64 + 64 + 24 - 16 = 8\). En réalité, il faut recalculer soigneusement. Reprenons le déterminant par une autre méthode.

On développe par la première ligne :

\[
\begin{aligned}
\det &= (1-\lambda)\begin{vmatrix} -\lambda & -1 \\ 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} - (-2)\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 3 & 3-\lambda \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} -3 & -\lambda \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \\
&= (1-\lambda)\bigl[(-\lambda)(3-\lambda) - (-1)\cdot 2\bigr] + 2\bigl[(-3)(3-\lambda) - (-1)\cdot 3\bigr] + \bigl[(-3)\cdot 2 - (-\lambda)\cdot 3\bigr] \\
&= (1-\lambda)\bigl[-\lambda(3-\lambda) + 2\bigr] + 2\bigl[-3(3-\lambda) + 3\bigr] + \bigl[-6 + 3\lambda\bigr] \\
&= (1-\lambda)\bigl[-3\lambda + \lambda^2 + 2\bigr] + 2\bigl[-9 + 3\lambda + 3\bigr] + (-6 + 3\lambda) \\
&= (1-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) + 2(3\lambda - 6) + (-6 + 3\lambda) \\
&= (1-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) + 6\lambda - 12 - 6 + 3\lambda \\
&= (1-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) + 9\lambda - 18.
\end{aligned}
\]

Or \(\lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2)\). Donc \((1-\lambda)(\lambda^2 - 3\lambda + 2) = -( \lambda-1)(\lambda-1)(\lambda-2) = -(\lambda-1)^2(\lambda-2)\).

\[
\det = -(\lambda-1)^2(\lambda-2) + 9\lambda - 18.
\]

On développe : \(-(\lambda^2 - 2\lambda +1)(\lambda-2) = -[ (\lambda^2 - 2\lambda +1)\lambda - 2(\lambda^2 - 2\lambda +1) ] = -[ \lambda^3 - 2\lambda^2 + \lambda - 2\lambda^2 + 4\lambda - 2 ] = -(\lambda^3 - 4\lambda^2 + 5\lambda - 2) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 - 5\lambda + 2\).

Ajoutons \(9\lambda - 18\) : \(-\lambda^3 + 4\lambda^2 + 4\lambda - 16\). Ainsi

\[
P_A(\lambda) = -\lambda^3 + 4\lambda^2 + 4\lambda - 16.
\]

En multipliant par \(-1\) : \(\lambda^3 - 4\lambda^2 - 4\lambda + 16\). On teste \(\lambda = 2\) : \(8 - 16 - 8 + 16 = 0\). Donc \(\lambda = 2\) est racine. Factorisons :

\[
P_A(\lambda) = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = (\lambda - 2)(\lambda - 4)(\lambda + 2).
\]

Les valeurs propres sont \(2,\;4,\;-2\).

D’après le théorème de Cayley‑Hamilton, \(P_A(A) = 0\).

2. Diagonalisation de \(A\)

Recherche des vecteurs propres :

• Pour \(\lambda = 2\) : résoudre \((A-2I)X=0\).
  
  \(A-2I = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\).
  
  On trouve \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) (vérification : \(-1 + 2 -1 = 0\), etc.).


• Pour \(\lambda = 4\) : \((A-4I)X=0\).
  
  \(A-4I = \begin{pmatrix} -3 & -2 & 1 \\ -3 & -4 & -1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}\).
  
  On obtient \(v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\).


• Pour \(\lambda = -2\) : \((A+2I)X=0\).
  
  \(A+2I = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ -3 & 2 & -1 \\ 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}\).
  
  On trouve \(v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Soit \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\). On a \(P^{-1}AP = D\).

3. Expression de \(A^n\)

\(A^n = P D^n P^{-1}\). Calcul de \(P^{-1}\) :

\[
P^{-1} = \frac{1}{\det P} \operatorname{adj}(P).
\]

On trouve \(\det P = -2\) (après calcul). Alors

\[
A^n = P \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 4^n & 0 \\ 0 & 0 & (-2)^n \end{pmatrix} P^{-1}.
\]

On peut laisser sous cette forme ou développer.

Exercice II : Analyse (6,5 points)

I. Étude de la fonction \(f(x) = \arctan\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\)

1) Domaine de définition et périodicité

L’expression sous la racine est définie pour \(1+\cos x > 0\) (car dénominateur non nul) et le numérateur \(1-\cos x \ge 0\) toujours. Donc \(\cos x \neq -1\), soit \(x \neq \pi + 2k\pi\). Le domaine est \(\mathbb{R} \setminus \{\pi + 2k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\}\).

La fonction est \(2\pi\)-périodique car \(\cos\) l’est.

2) Réduction de l’intervalle d’étude

La fonction est paire (car \(\cos\) est paire). On peut donc l’étudier sur \([0,\pi[\) (car \(\pi\) est exclu). La courbe se complète par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

3) Étude sur \(I = [0,\pi[\)

On utilise l’identité \(\frac{1-\cos x}{1+\cos x} = \tan^2\left(\frac{x}{2}\right)\). Sur \([0,\pi[\), \(\frac{x}{2} \in [0,\pi/2[\), donc \(\tan(x/2) \ge 0\). Alors

\[
f(x) = \arctan\left(\tan\frac{x}{2}\right) = \frac{x}{2} \quad\text{pour } x\in[0,\pi[.
\]

Par parité, pour \(x\in]-\pi,0[\), \(f(x) = f(-x) = -x/2\). Donc \(f(x) = \frac{|x|}{2}\) sur \(]-\pi,\pi[\). La courbe est formée de deux demi-droites.

II. Propriété d’une fonction et intégrale

1) Interprétation géométrique

La relation \(g(a+b-x)=g(x)\) signifie que la fonction est symétrique par rapport à la droite d’équation \(x = \frac{a+b}{2}\).

2) Preuve de la formule intégrale

Soit \(I = \int_a^b t g(t)\,dt\). On pose \(u = a+b-t\). Alors \(du = -dt\), \(t = a+b-u\), et

\[
I = \int_{b}^{a} (a+b-u) g(a+b-u)(-du) = \int_a^b (a+b-u) g(u)\,du.
\]

D’où \(I = (a+b)\int_a^b g(u)\,du - I\), soit \(2I = (a+b)\int_a^b g(t)\,dt\).

\[
I = \frac{a+b}{2} \int_a^b g(t)\,dt.
\]

3) Application

Calculer \(I = \int_0^\pi \frac{t}{1+\sin t}\,dt\). Ici \(a=0\), \(b=\pi\), \(g(t)=\frac{1}{1+\sin t}\). Vérifions : \(\sin(\pi-t)=\sin t\), donc \(g(\pi-t)=g(t)\). Alors

\[
I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{dt}{1+\sin t}.
\]

Posons \(u = \tan(t/2)\), alors \(\sin t = \frac{2u}{1+u^2}\), \(dt = \frac{2}{1+u^2}du\), et quand \(t=0\), \(u=0\); \(t=\pi\), \(u\to+\infty\).

\[
J = \int_0^\pi \frac{dt}{1+\sin t} = \int_0^{+\infty} \frac{2}{(1+u^2)+2u}\,du = \int_0^{+\infty} \frac{2}{(u+1)^2}\,du = 2\left[-\frac{1}{u+1}\right]_0^{+\infty} = 2.
\]

Donc \(I = \frac{\pi}{2} \times 2 = \pi\).

Exercice III : Probabilité – Statistique (5,5 points)

I. Loi conjointe de \((X,Y)\)

Le tableau des probabilités conjointes (supposé complet) :

\(X \setminus Y\)	0	1	2	3
1	0,15	0,1	0,05	0,1
2	0,1	0,2	0,2	0,1

1) Lois marginales

\(P(X=1)=0,15+0,1+0,05+0,1=0,4\); \(P(X=2)=0,6\).

\(P(Y=0)=0,15+0,1=0,25\); \(P(Y=1)=0,1+0,2=0,3\); \(P(Y=2)=0,05+0,2=0,25\); \(P(Y=3)=0,1+0,1=0,2\).

2) Nombre moyen de filles par famille

\(E(Y) = 0\times0,25 + 1\times0,3 + 2\times0,25 + 3\times0,2 = 0,3 + 0,5 + 0,6 = 1,4\).

3) Loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(X=2\)

\(P(Y=0|X=2)=0,1/0,6=1/6\); \(P(Y=1|X=2)=0,2/0,6=1/3\); \(P(Y=2|X=2)=1/3\); \(P(Y=3|X=2)=1/6\).

4) Espérance conditionnelle

\(E(Y|X=2)=0\times\frac{1}{6}+1\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{3}+3\times\frac{1}{6}= \frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=1+0,5=1,5\).

II. Étude statistique

Données : 4524 établissements (3019 industrie, 1505 commerce). Utilisateurs : 839 industriels, 402 commerçants.

1) Proportions d’utilisateurs

Industrie : \(\frac{839}{3019} \approx 0,278\) (27,8%).

Commerce : \(\frac{402}{1505} \approx 0,267\) (26,7%).

2) Tableau de répartition selon le type de biens

Type de biens	Proportion
Produits	0,35
Matériel	0,30
Machines	0,20
Outils	0,10
Services	0,05

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Résumé du document

Ce document est le corrigé détaillé de l’épreuve de Mathématiques du BTS Génie Informatique (session 2016). Il traite trois exercices.

L’Exercice I (algèbre linéaire) porte sur la diagonalisation d’une matrice \(3\times3\). On calcule le polynôme caractéristique (valeurs propres 2, 4, –2), on trouve les vecteurs propres, puis on donne l’expression de \(A^n\) sous forme \(P D^n P^{-1}\).

L’Exercice II (analyse) étudie d’abord la fonction \(f(x)=\arctan\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\) : domaine, périodicité, réduction d’intervalle, simplification en \(x/2\) sur \([0,\pi[\) et tracé. Puis on exploite une propriété de symétrie \(g(a+b-x)=g(x)\) pour établir une formule intégrale et l’appliquer au calcul de \(\int_0^\pi \frac{t}{1+\sin t}\,dt = \pi\).

L’Exercice III (probabilités et statistiques) part d’un tableau de distribution conjointe pour calculer lois marginales, moyenne conditionnelle, etc. Ensuite, on calcule des proportions d’utilisation d’un progiciel dans deux secteurs et on présente un tableau de répartition.