EPS-CGE2024_Corrigé

Chapitre 5 : Compléments sur le calcul approché d’intégrales : méthodes de quadrature

5.1 Méthodes de Newton‑Cotes

Formule de quadrature simple

On approche \(\int_a^b f(x)\,dx\) par \(I_N(f)=\sum_{j=0}^N \lambda_j f(x_j)\), où les \(x_j\in[a,b]\) sont les nœuds et les \(\lambda_j\) des poids. L’erreur est \(E_N(f)=\int_a^b f - I_N(f)\).

Ordre

La formule est d’ordre \(\ge K\) si elle est exacte pour tout polynôme de degré \(\le K\). Elle est de type interpolation si \(I_N(f)=\int_a^b P_N(f)(x)\,dx\) avec \(P_N(f)\) le polynôme d’interpolation de Lagrange aux nœuds \(x_j\). On a alors \(\lambda_i=\int_a^b L_i(x)\,dx\) où \(L_i\) sont les polynômes de Lagrange.

Proposition

Une formule à \(N+1\) points est d’ordre \(\ge N\) ssi elle est de type interpolation.

Newton‑Cotes (nœuds équidistants)

Si \(x_j=a+\frac{j}{N}(b-a)\), alors :

1. Symétrie : \(\lambda_{N-j}=\lambda_j\).


2. Si \(N\) est pair, la formule est d’ordre \(\ge N+1\) (exactement \(N+1\)) ; si \(N\) impair, l’ordre est exactement \(N\).

Erreur pour une formule de type interpolation

Soit \(\omega(x)=\prod_{j=0}^N (x-x_j)\). Pour \(f\in C^{N+1}\),
\[
|E_N(f)|\le \frac{b-a}{(N+1)!}\,\|\omega\|_\infty\,\|f^{(N+1)}\|_\infty \le \frac{(b-a)^{N+2}}{(N+1)!}\,\|f^{(N+1)}\|_\infty .
\]

Formule de quadrature composée

On subdivise \([a,b]\) en \(n\) sous‑intervalles \([a_k,a_{k+1}]\) (souvent équidistants) et on applique la même formule simple sur chaque sous‑intervalle. L’erreur globale vérifie
\[
|E(f)|\le \frac{(b-a)^{N+2}}{(N+1)!\,n^{N+1}}\,\|f^{(N+1)}\|_\infty .
\]
Ainsi, en augmentant \(n\) on fait tendre l’erreur vers 0.

Noyau de Peano

Si la formule est d’ordre \(m\), on a
\[
E(f)=\frac{1}{m!}\int_a^b K_m(t)\,f^{(m+1)}(t)\,dt,\qquad
K_m(t)=E\bigl((x-t)_+^m\bigr).
\]
Cela permet d’obtenir une estimation plus fine de l’erreur.

5.2 Méthode de Gauss

On cherche à maximiser l’ordre de la formule simple. Avec \(N+1\) points, on peut espérer au plus l’ordre \(2N+1\) (car on a \(2(N+1)\) paramètres). Cet optimum est atteint en choisissant les nœuds comme les racines du polynôme orthogonal unitaire \(p_{N+1}\) (relatif à \([a,b]\) et au produit scalaire \(L^2\)) – ce sont les points de Gauss‑Legendre. Les poids sont alors donnés par \(\lambda_i=\int_a^b L_i(x)\,dx\).

Théorème

La méthode de Gauss à \(N+1\) points est d’ordre exactement \(2N+1\). De plus, tous les poids sont positifs et pour toute fonction continue sur \([a,b]\) l’erreur tend vers 0 quand \(N\to\infty\).

En quadrature composée avec la méthode de Gauss, l’erreur est en \(O\bigl(n^{-(2N+2)}\bigr)\) pour une fonction suffisamment régulière.

Références

[1] Buff X. et al., Mathématiques Tout‑en‑un pour la Licence 2, Dunod, 2007.

[2] Crouzeix M., Mignot A.L., Analyse Numérique des équations différentielles, Masson, 1984.

[3] Demailly J.-P., Analyse Numérique et équations différentielles, Presses Universitaires de Grenoble, 1991.