Suites numériques

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres (Un).
Elle permet de faire une approximation de valeurs, bases pour les séries, modélisation en sciences et économie.

Suites et séries réelles — Résumé

1. Convergence des suites

Une suite $(u_n)$ converge vers $a$ si :
$$\forall\varepsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\;\forall n>N,\, |u_n - a|\leq\varepsilon$$
La limite est unique. On note $\lim_{n\to\infty} u_n = a$.

Toute suite réelle croissante et majorée (resp. décroissante et minorée) converge.

Lemme des trois suites : si $a_n \leq u_n \leq b_n$ et $a_n, b_n \to \ell$, alors $u_n \to \ell$.

2. Valeurs d'adhérence

$a$ est valeur d'adhérence de $(u_n)$ si :
$$\forall\varepsilon>0,\;\forall N\in\mathbb{N},\;\exists n>N,\, |u_n - a|\leq\varepsilon$$
Équivalent : il existe une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ convergeant vers $a$.

La limite supérieure $\limsup u_n$ (resp. $\liminf u_n$) est le supremum (resp. l'infimum) des valeurs d'adhérence.

Théorème de Bolzano-Weierstrass : toute suite réelle bornée admet une valeur d'adhérence.

3. Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$

Si $f$ est croissante, $(u_n)$ est monotone. Si $f$ est décroissante, les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones.

Si $f$ est continue et $(u_n)$ admet une limite $\ell \in I$, alors $f(\ell) = \ell$ (point fixe).

Récurrences linéaires à coefficients constants $u_{n+p} = a_1 u_{n+p-1} + \cdots + a_p u_n$ : l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension $p$. Si le polynôme caractéristique $x^p - \sum_i a_i x^{p-i}$ se factorise en $\prod_i (x-\rho_i)^{\nu_i}$, une base est donnée par les suites de terme général $n^j \rho_i^n$, pour $0 \leq j < \nu_i$.

4. Convergence des séries

La série $\sum u_n$ est convergente si la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ converge. La suite des restes est $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$.

Condition nécessaire : si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$.

Sommation des comparaisons (termes positifs) : si $u_n = O(v_n)$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge. Si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.

Critère intégral de Cauchy : si $f$ est continue, positive et décroissante, $\sum f(n)$ converge $\iff$ $\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ converge.

Séries de référence : $\sum \rho^n$ converge $\iff |\rho|1$ ; $\sum n^{-\alpha}(\log n)^{-\beta}$ converge $\iff \alpha>1$, ou $\alpha=1$ et $\beta>1$.

Critère des séries alternées : si $(u_n)$ est positive, décroissante et $\to 0$, alors $\sum(-1)^n u_n$ converge et $|R_n| \leq u_{n+1}$.

Convergence absolue : $\sum |u_n|$ converge $\Rightarrow$ $\sum u_n$ converge.

Formule sommatoire d'Abel : avec $S(x) = \sum_{0\leq n\leq x} u_n$,
$$\sum_{0\leq n\leq x} u_n f(n)=$$ $$S(x)f(x) - \int_0^x S(t)f'(t)\,dt$$

Règle d'Alembert : si $u_{n+1}/u_n \to a$, alors $a$ inférieur à 1 $\Rightarrow$ convergence, $a>1 \Rightarrow$ divergence grossière.

5. Convergence uniforme des fonctions

$(f_n)$ converge simplement vers $g$ si $\forall x\in I$, $f_n(x)\to g(x)$.

$(f_n)$ converge uniformément vers $g$ si $\exists (u_n)\to 0$ tel que $|f_n(x)-g(x)|\leq u_n$ pour tout $x\in I$ et $n\in\mathbb{N}$.

Si $(f_n)$ converge uniformément vers $g$ et tous les $f_n$ sont continus, alors $g$ est continue.

Théorème d'interversion des limites : si $(f_n)\to f$ uniformément et $\lim_{x\to x_0} f_n(x)$ existe pour tout $n$, alors :
$$\lim_{n\to+\infty}\lim_{x\to x_0} f_n(x) = \lim_{x\to x_0}\lim_{n\to+\infty} f_n(x)$$

6. Critère de Cauchy

$(u_n)$ converge $\iff$ elle est de Cauchy :
$\forall\varepsilon>0,$ $\exists N>0 : \forall n,m>N, $ $|u_n-u_m|\leq\varepsilon$.

$\sum u_n$ converge $\iff$ $\forall\varepsilon>0,$ $\exists N>0 : \forall m\geq n>N,$ $\left|\sum_{k=n}^m u_k\right|\leq\varepsilon$.

Pour les séries de fonctions : $\sum f_n$ converge normalement si $\sum \|f_n\|_\infty$ converge ; la convergence normale implique la convergence uniforme.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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