Transformations de Laplace

La transformation de Laplace est un outil qui permet de transformer une fonction f en une autre fonction F. Elle permet de simplifier la résolution d’équations différentielles.
Laplace = outil pour passer du temps à la fréquence complexe, très pratique pour équations différentielles et systèmes dynamiques.

Transformation de Laplace — Résumé

I. Définition

Soit $f$ une fonction causale (nulle sur $\mathbb{R}^*_-$). Sa transformée de Laplace est :
$$F(p) = \mathcal{L}[f](p) = \int_0^{+\infty} f(t)\,e^{-pt}\,dt$$
On note $f \rightarrow F$ : $F$ est la transformée de $f$, et $f$ est l'original de $F$.

La convolée de $f$ et $g$ est : $(f*g)(t) = \displaystyle\int_0^t f(x)\,g(t-x)\,dx$

II. Propriétés

\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Propriété} & \text{Formule} \\
\hline
\text{Linéarité} & \mathcal{L}[f + \lambda g] = F(p) + \lambda G(p) \\
\text{Dérivation} & \mathcal{L}[f'(t)] = p\,F(p) - f(0^+) \\
\text{Intégration} & \mathcal{L}\!\left[\int_0^t f(x)\,dx\right] = \dfrac{F(p)}{p} \\
\text{Décalage temporel} & \mathcal{L}[f(t-\tau)U(t-\tau)] = F(p)\,e^{-\tau p} \\
\text{Décalage fréquentiel} & \mathcal{L}[f(t)e^{-\alpha t}] = F(p+\alpha) \\
\text{Convolution} & \mathcal{L}[f*g] = F(p)\times G(p) \\
\text{Dérivation de }F & F'(p) = \mathcal{L}[-t\,f(t)] \\
\text{Intégration de }F & \displaystyle\int_p^{+\infty} F(u)\,du = \mathcal{L}\!\left[\dfrac{f(t)}{t}\right] \\
\hline
\end{array}
\]
Théorème de la valeur initiale et finale :
$$\lim_{p\to+\infty} p\,F(p) = f(0^+),$$ $$\lim_{p\to 0} p\,F(p) = \lim_{t\to+\infty} f(t)$$

Fonction périodique de période $T$ : si $F_0 = \mathcal{L}[f_0]$ où $f_0 = f\big|_{[0,T]}$, alors
$$F(p) = \frac{F_0(p)}{1 - e^{-pT}}$$

III. Transformées usuelles

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
f(t) & F(p) \\
\hline
\delta(t) & 1 \\
U(t) & \dfrac{1}{p} \\
e^{-at}U(t) & \dfrac{1}{p+a} \\
t^n U(t) & \dfrac{n!}{p^{n+1}} \\
\cos(\omega t)U(t) & \dfrac{p}{p^2+\omega^2} \\
\sin(\omega t)U(t) & \dfrac{\omega}{p^2+\omega^2} \\
\text{créneau } [t_1, t_2] & \dfrac{e^{-st_1}-e^{-st_2}}{s} \\
\hline
\end{array}
\]

IV. Recherche des originaux — Formule de Heaviside

Si $F(p) = \dfrac{P(p)}{Q(p)}$ avec $\deg P < \deg Q$ et $Q$ à racines simples $-r_1,\ldots,-r_n$ :
$$f(t) = \sum_{i=1}^n \frac{P(-r_i)}{Q'(-r_i)}\,e^{-r_i t},$$ $$Q'(-r_i) = \prod_{j\neq i}(r_j - r_i)$$

V. Application aux réactions chimiques

Réaction d'ordre 1 $A \xrightarrow{k} B$, avec $a(0)=a_0$, $b(0)=0$ :
$$a(t) = a_0 e^{-kt}, \; b(t) = a_0(1-e^{-kt})$$

Réactions successives $A \xrightarrow{k_1} B \xrightarrow{k_2} C$, avec $a(0)=a_0$, $b(0)=c(0)=0$ :
$$a(t) = a_0 e^{-k_1 t},$$ $$b(t) = \frac{k_1 a_0}{k_2-k_1}(e^{-k_1 t}-e^{-k_2 t})$$
$$c(t) =$$ $$a_0\!\left(1 - \frac{k_2}{k_2-k_1}e^{-k_1 t} - \frac{k_1}{k_1-k_2}e^{-k_2 t}\right)$$

Réactions parallèles $A \xrightarrow{k_1} B$, $A \xrightarrow{k_2} C$, avec $a(0)=a_0$, $b(0)=c(0)=0$ :
$$a(t) = a_0 e^{-(k_1+k_2)t}, $$
$$b(t) = \frac{k_1 a_0}{k_1+k_2}\bigl(1-e^{-(k_1+k_2)t}\bigr), $$
$$c(t) = \frac{k_2 a_0}{k_1+k_2}\bigl(1-e^{-(k_1+k_2)t}\bigr)$$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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