Espaces vectoriels

Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs dans lequel on peut additionner des vecteurs et les multiplier par des nombres (scalaires) tout en respectant certaines règles logiques (comme l’existence d’un vecteur nul et d’inverses pour l’addition).

Espaces Vectoriels — Résumé

I. Groupes

$(G, *)$ est un groupe si : associativité, existence d'un neutre $e$, tout élément est inversible. Si $*$ est commutative, le groupe est abélien.

II. Espace vectoriel

$(E, +)$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel s'il est un groupe abélien muni d'une opération externe $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ vérifiant :
$$(\lambda+\mu)u = \lambda u + \mu u,$$
$$\lambda(u+v) = \lambda u + \lambda v, $$
$$\lambda(\mu u) = (\lambda\mu)u,$$
$$1\cdot u = u.$$

Propriétés : $\lambda u = 0 \iff \lambda = 0$ ou $u = 0$.

III. Sous-espaces vectoriels

$F \subset E$ est un sous-espace vectoriel (sev) de $E$ si et seulement si :
$$0 \in F,$$
$$\forall u,v \in F,\ u+v \in F,$$
$$\forall u \in F,\ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ \lambda u \in F.$$
Critère condensé : $F$ est sev $\iff \forall u,v \in F,$ $\forall \lambda,\mu \in \mathbb{K},\ \lambda u + \mu v \in F$.

L'intersection de sev est un sev. La réunion de deux sev n'est pas en général un sev.

Combinaison linéaire de $u_1,\ldots,u_n$ : tout vecteur $a_1u_1 + \cdots + a_nu_n$, $a_k \in \mathbb{K}$.

$\mathrm{vect}(F)$ est le plus petit sev contenant $F$ (ensemble de toutes les combinaisons linéaires d'éléments de $F$). On a $\mathrm{vect}(A\cup B) = \mathrm{vect}(A) + \mathrm{vect}(B)$.

IV. Applications linéaires

$f : E_1 \to E_2$ est linéaire si :
$$\forall u,v \in E_1,\ f(u+v) = f(u)+f(v)$$ et $$ \forall \lambda \in \mathbb{K},\ f(\lambda u) = \lambda f(u)$$
Critère : $f$ est linéaire $\iff \forall \lambda,\mu \in \mathbb{K},$ $\forall u,v \in E_1,$ $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$.

Propriétés : $f(0_E) = 0_F$ ; $g \circ f$ est linéaire ; $f\!\left(\sum \lambda_i e_i\right) = \sum \lambda_i f(e_i)$.

Types particuliers : forme linéaire ($F=\mathbb{K}$), endomorphisme ($F=E$), monomorphisme (injective), épimorphisme (surjective), isomorphisme (bijective), automorphisme (endomorphisme bijectif).

Noyau et image :
$$\mathrm{Ker}\,f = \{u \in E \mid f(u) = 0_F\},$$
$$\mathrm{Im}\,f = \{v \in F \mid \exists u \in E,\ f(u) = v\}$$
$\mathrm{Ker}\,f$ est sev de $E$, $\mathrm{Im}\,f$ est sev de $F$.

$f$ injective $\iff \mathrm{Ker}\,f = \{0_E\}$. $f$ surjective $\iff \mathrm{Im}\,f = F$.

V. Familles de vecteurs

$\{e_1,\ldots,e_n\}$ est génératrice de $E$ si $\mathrm{vect}(\{e_1,\ldots,e_n\}) = E$.

$\{e_1,\ldots,e_n\}$ est libre (linéairement indépendante) si :
$\lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n = 0$ $\implies$ $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0.$
Elle est liée $\iff$ l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.

Toute sous-famille d'une famille libre est libre. Toute sur-famille d'une famille liée est liée.

$\mathcal{B} = (e_1,\ldots,e_n)$ est une base de $E$ si elle est libre et génératrice. La dimension de $E$ est le nombre d'éléments d'une base.

Si $\mathcal{B}=(e_i)_{1\leq i\leq n}$ est une base de $E$, alors tout $u \in E$ s'écrit de façon unique :
$$u = \lambda_1 e_1 + \cdots + \lambda_n e_n, \quad \lambda_i \in \mathbb{K}.$$
Les $\lambda_i$ sont les composantes de $u$ dans $\mathcal{B}$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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