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Calcul matriciel et Diagonalisation

Le calcul matriciel consiste à manipuler des tableaux de nombres (les matrices) selon certaines règles.

Diagonalisation — Résumé

I. Éléments propres d'un endomorphisme

Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ et $\alpha \in \mathbb{R}$.

$u \neq 0$ est vecteur propre de $f$ associé à la valeur propre $\alpha$ si $f(u) = \alpha u$.

$\alpha$ est valeur propre de $f$ $\iff$ $f - \alpha\,\mathrm{Id}$ non inversible $\iff$ $\ker(f - \alpha\,\mathrm{Id}) \neq \{0\}$.

Le sous-espace propre associé à $\alpha$ est :
$E_\alpha = \ker(f - \alpha\,\mathrm{Id})$ $= \{u \in E \mid f(u) = \alpha u\}$

$f$ bijective $\iff$ $0$ n'est pas valeur propre de $f$.

Le spectre de $f$ est l'ensemble de ses valeurs propres.

II. Conditions de diagonalisabilité

$f \in \mathcal{L}(E)$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres (base dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale).

Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.

Condition suffisante : si $\dim E = n$ et $f$ possède $n$ valeurs propres distinctes, alors $f$ est diagonalisable.

Condition nécessaire et suffisante :
$$f \text{ diagonalisable} \iff \sum_{\alpha} \dim E_\alpha = n$$
La concaténation des bases des sous-espaces propres forme alors une base de vecteurs propres.

III. Diagonalisation d'une matrice

$M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable s'il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telles que :
$$M = P \cdot D \cdot P^{-1}$$
Méthode : trouver les valeurs propres, déterminer les sous-espaces propres, concaténer leurs bases en colonnes de $P$, placer les valeurs propres correspondantes sur la diagonale de $D$.

Matrices triangulaires : les valeurs propres sont les coefficients diagonaux.

Polynôme annulateur : si $P(M) = 0$ et $\alpha$ est valeur propre de $M$, alors $P(\alpha) = 0$.

Matrices symétriques ($^tM = M$) : toute matrice symétrique est diagonalisable.

IV. Applications

Puissances de matrice : si $M = P \cdot D \cdot P^{-1}$, alors
$$M^n = P \cdot D^n \cdot P^{-1}$$
ce qui est simple à calculer car $D^n$ est diagonale avec les puissances $n$-ièmes des valeurs propres.

Suites vectorielles $U_{n+1} = A \cdot U_n$ : la solution est $U_n = A^n \cdot U_0 = P \cdot D^n \cdot P^{-1} \cdot U_0$.

Changement d'inconnue : si $A = P \cdot D \cdot P^{-1}$, on pose $N = P^{-1} \cdot M \cdot P$ pour transformer les équations matricielles en systèmes diagonaux plus simples.

Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

Calcul matriciel et Diagonalisation

Diagonalisation — Résumé

I. Éléments propres d'un endomorphisme

II. Conditions de diagonalisabilité

III. Diagonalisation d'une matrice

IV. Applications

Testez vos connaissances

1. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$. Un vecteur $u \in E$ est dit vecteur propre de $f$ si :
(Indication : Voir la définition en section 2.1 : « u est un vecteur propre de f si u ≠ 0 et s’il existe α ∈ R tel que f(u) = αu ».)

4. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension $n$. Si $f$ possède $n$ valeurs propres distinctes, alors :
( Indication : C’est une condition suffisante de diagonalisation (théorème en section 2.3). )

5. Soit $T$ une matrice triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont :
( Indication : Pour une matrice triangulaire, $T - \alpha I$ est inversible sauf si $\alpha$ est égal à l’un des éléments diagonaux. Ce sont donc les valeurs propres.)

7. Soit $P$ un polynôme et $M$ une matrice carrée telle que $P(M)=0$ (matrice nulle). Si $\lambda$ est une valeur propre de $M$, alors :
( Indication : Le théorème sur le polynôme annulateur dit : si $P(M)=0$ et $\lambda$ valeur propre de $M$, alors $P(\lambda)=0$.)

8. Si $M = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, que représentent les colonnes de la matrice $P$ ?
(Indication : $P$ est la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres ; ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres.)

9. Laquelle des affirmations suivantes est toujours vraie pour une matrice symétrique réelle ?
(Indication : Le théorème (fréquent) énonce : « Si $M$ est une matrice symétrique alors $M$ est diagonalisable » (dans $\mathbb{R}$, elle l’est même orthogonalement).)

10. On a $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale. Pour calculer $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$), on peut utiliser :
(Indication : Par récurrence, $(P D P^{-1})^n = P D^n P^{-1}$ car les $P^{-1}P$ s’annulent au milieu. C’est l’intérêt de la diagonalisation pour calculer les puissances.)

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I. Éléments propres d'un endomorphisme

II. Conditions de diagonalisabilité

III. Diagonalisation d'une matrice

IV. Applications

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1. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$. Un vecteur $u \in E$ est dit vecteur propre de $f$ si : (Indication : Voir la définition en section 2.1 : « u est un vecteur propre de f si u ≠ 0 et s’il existe α ∈ R tel que f(u) = αu ».)

4. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension $n$. Si $f$ possède $n$ valeurs propres distinctes, alors : ( Indication : C’est une condition suffisante de diagonalisation (théorème en section 2.3). )

5. Soit $T$ une matrice triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont : ( Indication : Pour une matrice triangulaire, $T - \alpha I$ est inversible sauf si $\alpha$ est égal à l’un des éléments diagonaux. Ce sont donc les valeurs propres.)

7. Soit $P$ un polynôme et $M$ une matrice carrée telle que $P(M)=0$ (matrice nulle). Si $\lambda$ est une valeur propre de $M$, alors : ( Indication : Le théorème sur le polynôme annulateur dit : si $P(M)=0$ et $\lambda$ valeur propre de $M$, alors $P(\lambda)=0$.)

8. Si $M = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, que représentent les colonnes de la matrice $P$ ? (Indication : $P$ est la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres ; ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres.)

9. Laquelle des affirmations suivantes est toujours vraie pour une matrice symétrique réelle ? (Indication : Le théorème (fréquent) énonce : « Si $M$ est une matrice symétrique alors $M$ est diagonalisable » (dans $\mathbb{R}$, elle l’est même orthogonalement).)

10. On a $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale. Pour calculer $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$), on peut utiliser : (Indication : Par récurrence, $(P D P^{-1})^n = P D^n P^{-1}$ car les $P^{-1}P$ s’annulent au milieu. C’est l’intérêt de la diagonalisation pour calculer les puissances.)

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1. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace vectoriel $E$. Un vecteur $u \in E$ est dit vecteur propre de $f$ si :
(Indication : Voir la définition en section 2.1 : « u est un vecteur propre de f si u ≠ 0 et s’il existe α ∈ R tel que f(u) = αu ».)

4. Soit $f$ un endomorphisme d’un espace $E$ de dimension $n$. Si $f$ possède $n$ valeurs propres distinctes, alors :
( Indication : C’est une condition suffisante de diagonalisation (théorème en section 2.3). )

5. Soit $T$ une matrice triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont :
( Indication : Pour une matrice triangulaire, $T - \alpha I$ est inversible sauf si $\alpha$ est égal à l’un des éléments diagonaux. Ce sont donc les valeurs propres.)

7. Soit $P$ un polynôme et $M$ une matrice carrée telle que $P(M)=0$ (matrice nulle). Si $\lambda$ est une valeur propre de $M$, alors :
( Indication : Le théorème sur le polynôme annulateur dit : si $P(M)=0$ et $\lambda$ valeur propre de $M$, alors $P(\lambda)=0$.)

8. Si $M = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, que représentent les colonnes de la matrice $P$ ?
(Indication : $P$ est la matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres ; ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs propres.)

9. Laquelle des affirmations suivantes est toujours vraie pour une matrice symétrique réelle ?
(Indication : Le théorème (fréquent) énonce : « Si $M$ est une matrice symétrique alors $M$ est diagonalisable » (dans $\mathbb{R}$, elle l’est même orthogonalement).)

10. On a $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale. Pour calculer $A^n$ ($n \in \mathbb{N}$), on peut utiliser :
(Indication : Par récurrence, $(P D P^{-1})^n = P D^n P^{-1}$ car les $P^{-1}P$ s’annulent au milieu. C’est l’intérêt de la diagonalisation pour calculer les puissances.)