Nombres complexes

Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, très utiles pour représenter des phénomènes oscillatoires et pour résoudre des équations autrement impossibles.

Nombres complexes — Résumé

I. Définitions et opérations

Un nombre complexe est $z = a + ib$ avec $a,b \in \mathbb{R}$. On note $\text{Re}(z)=a$ et $\text{Im}(z)=b$.

$z = z' \iff \text{Re}(z)=\text{Re}(z')$ et $\text{Im}(z)=\text{Im}(z')$.

Addition : $(a+ib)+(a'+ib') =$ $(a+a')+i(b+b')$.

Multiplication : $(a+ib)(a'+ib') =$ $ (aa'-bb')+i(ab'+ba')$, avec $i^2=-1$.

Inverse : ($z\neq 0$) : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{a-ib}{a^2+b^2}$.

Somme géométrique : $1+z+\cdots+z^n = \dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}$ si $z\neq 1$.

Conjugué : $\bar{z} = a-ib$.
$z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$, $z-\bar{z}=2i\,\text{Im}(z)$, $z=\bar{z}\iff z\in\mathbb{R}$.

Module : $|z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\bar{z}}$.
$|zz'|=|z||z'|$, $|\bar{z}|=|z|$.

Inégalité triangulaire : $|z+z'| \leq |z|+|z'|$.

II. Racines carrées et équation du second degré

Tout $z\in\mathbb{C}$ admet deux racines carrées $\omega$ et $-\omega$. Pour $z=a+ib$, on pose $\omega=x+iy$ et on résout :
$x^2-y^2=a,$ $2xy=b,$ $x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}.$

Équation $az^2+bz+c=0$ ($a\neq 0$, $a,b,c\in\mathbb{C}$) : discriminant $\Delta=b^2-4ac$, $\delta$ racine carrée de $\Delta$ :
$$z_{1,2} = \frac{-b\pm\delta}{2a}$$
Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme de degré $n$ à coefficients complexes admet exactement $n$ racines dans $\mathbb{C}$ (comptées avec multiplicité).

III. Argument et notation exponentielle

Pour $z\neq 0$, l'argument $\theta = \arg(z)$ est défini par $z = |z|(\cos\theta+i\sin\theta)$, modulo $2\pi$.

Notation exponentielle : $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, donc $z = \rho e^{i\theta}$.

Propriétés : $\arg(zz') \equiv \arg z + \arg z' \pmod{2\pi}$, $\arg(z^n)\equiv n\arg z$, $\arg(\bar{z})\equiv -\arg z$.

Formule de Moivre : $(\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$, soit $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$.

Formules d'Euler :
$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},$$
$$\sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$$
Développement : $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = (\cos\theta+i\sin\theta)^n$ développé par le binôme de Newton.

Linéarisation : exprimer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$ via les formules d'Euler puis le binôme.

Racines $n$-ièmes de $z=\rho e^{i\theta}$ : il y en a $n$, données par
$$\omega_k = \rho^{1/n}\,e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}, \quad k=0,1,\ldots,n-1$$

IV. Nombres complexes et géométrie

À tout point $M(x,y)$ on associe l'affixe $z=x+iy$.

Équation complexe d'une droite ($\omega\in\mathbb{C}^*$, $k\in\mathbb{R}$) :
$$\bar{\omega}z + \omega\bar{z} = k$$

Équation complexe d'un cercle de centre d'affixe $\omega$ et de rayon $r$ :
$$z\bar{z} - \bar{\omega}z - \omega\bar{z} = r^2 - |\omega|^2$$

Cercles d'Apollonius : l'ensemble $\left\{M \mid \dfrac{MA}{MB}=k\right\}$ est la médiatrice de $[AB]$ si $k=1$, un cercle sinon.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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