Polynômes et Fractions Rationnelles

Un polynôme est une expression formée de sommes de puissances d’une variable avec des coefficients. Ce chapitre traite de la manipulation des polynômes et de leurs quotients pour résoudre divers problèmes algébriques et analytiques.

Polynômes et Fractions Rationnelles — Résumé

I. Polynômes

$P(X) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n \in \mathbb{K}[X]$. Le degré $\deg(P)$ est le plus grand $n$ tel que $a_n \neq 0$ ; la valuation $\mathrm{val}(P)$ est le plus petit.

Propriétés : $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$, $val(PQ) = val P + val Q$, $\deg(P+Q) \leq \sup\{\deg P, \deg Q\}$.

Division euclidienne : pour $B \neq 0$, il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que $A = BQ + R$ avec $\deg R < \deg B$.

Racines : $a$ est racine d'ordre $k$ de $P$ $\iff$ $(X-a)^k \mid P$ et $(X-a)^{k+1} \nmid P$ $\iff$ $P(a) = P'(a) = \cdots = P^{(k-1)}(a) = 0$ et $P^{(k)}(a) \neq 0$.

Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.

Polynôme irréductible sur $\mathbb{K}$ : non constant et sans diviseur propre non trivial.

Théorème de d'Alembert : tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine. Tout $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n$ est scindé en $n$ facteurs du $1^{\text{er}}$ degré.

Si $P \in \mathbb{R}[X]$ et $\alpha \in \mathbb{C}$ est racine de $P$, alors $\bar{\alpha}$ l'est aussi.

Irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ : $\lambda(X-\alpha)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$, ou $\lambda(X^2-sX+p)$ avec $s^2-4p < 0$.

II. Fractions rationnelles

$R = P/Q \in \mathbb{K}(X)$ ; la forme irréductible est telle que $P$ et $Q$ soient premiers entre eux. Un pôle d'ordre $n$ de $R$ est une racine de multiplicité $n$ du dénominateur (forme irréductible).

Partie entière : $\dfrac{P}{Q} = E + \dfrac{P_1}{Q}$ avec $\deg P_1 < \deg Q$ (division euclidienne de $P$ par $Q$).

Décomposition en éléments simples : si $Q = A^\alpha B^\beta \cdots L^\lambda$ (irréductibles), alors :
$$\frac{P}{Q} =$$ $$ E + \sum_{i=1}^\alpha \frac{A_i}{A^i} + \sum_{j=1}^\beta \frac{B_j}{B^j} + \cdots + \frac{L_\lambda}{L^\lambda},$$
$\deg A_i < \deg A,\ \deg B_j < \deg B,\ldots$

Dans $\mathbb{C}(X)$ : seuls des éléments de $1^{\text{re}}$ espèce $\dfrac{a_k}{(X-a)^k}$.

Dans $\mathbb{R}(X)$ : éléments de $1^{\text{re}}$ espèce $\dfrac{a_k}{(X-a)^k}$ et de $2^{\text{e}}$ espèce $\dfrac{rX+s}{(X^2+pX+q)^k}$ avec $p^2-4q$ négatif.

Méthodes de détermination des coefficients

Si $a$ est pôle d'ordre $k$ : multiplier par $(X-a)^k$ puis poser $X=a$.

Pour un facteur quadratique $(X^2+pX+q)^\alpha$ : multiplier par ce facteur puis substituer une racine complexe.

Autres méthodes : parité/symétrie, substitution de valeurs particulières, limite en $+\infty$ après multiplication, divisions euclidiennes successives (pôle multiple), identification des coefficients.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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