Modèles Probabilistes

Étudie comment modéliser des phénomènes aléatoires avec des probabilités.
On définit des variables aléatoires pour représenter des événements numériques.
On utilise des lois de probabilité (comme binomiale, normale, Poisson…) pour décrire le comportement de ces variables.

Le modèle probabiliste — Résumé

I. Espace des possibles et événements

L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Chaque résultat $\omega \in \Omega$ est un événement élémentaire. Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$.
\[
\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Notation} & \text{Vocabulaire probabiliste} \\
\hline
\Omega & \text{événement certain} \\
\varnothing & \text{événement impossible} \\
A \subset B & A \text{ implique } B \\
A \cup B & A \text{ ou } B \\
A \cap B & A \text{ et } B \\
A^c & \text{événement contraire de } A \\
A \cap B = \varnothing & A \text{ et } B \text{ incompatibles} \\
\hline
\end{array}
\]

II. Probabilité

$P$ est une probabilité sur $\Omega$ si :
$$0 \leq P(A) \leq 1, $$ $$P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\omega), $$ $$P(\Omega) = 1.$$
Propriétés : $P(A^c) = 1 - P(A)$, $P(\varnothing) = 0$,
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
Si $A$ et $B$ incompatibles : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Probabilité uniforme (équiprobabilité) :
$$P(A) = \frac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}$$

III. Indépendance et conditionnement

Probabilité conditionnelle ($P(A) > 0$) :
$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \Longleftrightarrow $$ $$ P(A \cap B) = P(B \mid A)\,P(A).$$
$A$ et $B$ sont indépendants si :
$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$$
Formule des probabilités totales : si $(A_i)_{i \in I}$ est une partition de $\Omega$ avec $P(A_i) > 0$,
$$P(B) = \sum_{i \in I} P(B \mid A_i)\,P(A_i)$$
Formule de Bayes : si $(A_i)_{i \in I}$ partition de $\Omega$, $P(B) > 0$,
$$P(A_i \mid B) = \frac{P(B \mid A_i)\,P(A_i)}{\displaystyle\sum_{j \in I} P(B \mid A_j)\,P(A_j)}$$

IV. Répétitions indépendantes

Si l'on répète $N$ fois de manière indépendante une expérience d'univers $\Omega$, le nouvel univers est $\Omega^N = \Omega \times \cdots \times \Omega$ et :
$$P^N\!\bigl((\omega_1,\ldots,\omega_N)\bigr) = P(\omega_1)\cdots P(\omega_N)$$
Si $P$ est uniforme sur $\Omega$, alors $P^N$ est uniforme sur $\Omega^N$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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