Variables aléatoires continues

Ce sont des quantités numériques qui peuvent prendre une infinité de valeurs dans un intervalle.

Variables aléatoires continues — Résumé

I. Loi d'une v.a. continue

Une densité de probabilité est une fonction $f \geq 0$ telle que
$\displaystyle\int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx = 1$.
$$P[a \leq X \leq b] = \int_a^b f(x)\,dx,$$
$$F(x) = P[X \leq x] = \int_{-\infty}^x f(u)\,du$$
$F$ est continue, croissante, $F'(x) = f(x)$ là où $f$ est continue. $P[X=x]=0$ pour tout $x$.

Espérance et variance :
$$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,dx,$$
$$\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$$
$$E[\varphi(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x)f(x)\,dx,$$
$$E[aX+b]=aE[X]+b,$$
$$\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$$

II. Loi uniforme sur $[a,b]$

$$f(x) = \frac{1}{b-a}\,\mathbf{1}_{[a,b]}(x),$$ $$F(x) = \frac{x-a}{b-a} \text{ pour } x\in[a,b]$$
$$E[X] = \frac{a+b}{2}, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

III. Loi normale

$X \sim \mathcal{N}(0,1)$ (centrée réduite) :
$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2},$$
$$E[X]=0,\quad \mathrm{Var}(X)=1$$
$-X$ suit aussi $\mathcal{N}(0,1)$. La fonction de répartition $\varphi$ se lit dans une table.

$X \sim \mathcal{N}(m, \sigma)$ :
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-(x-m)^2/(2\sigma^2)},$$
$$E[X]=m,\quad \mathrm{Var}(X)=\sigma^2$$
Standardisation : $Z = \dfrac{X-m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$, d'où :
$$P[a \leq X \leq b] =$$ $$\varphi\!\left(\frac{b-m}{\sigma}\right) - \varphi\!\left(\frac{a-m}{\sigma}\right)$$
Valeurs à retenir ($Z \sim \mathcal{N}(0,1)$, $X \sim \mathcal{N}(m,\sigma)$) :
$$P[|Z|\leq 1]=0.6826,$$ $$P[|Z|\leq 2]=0.9544,$$
$$P[|Z|\leq 3]=0.9973$$
Utilisation des tables : $P[X \leq -x] = 1 - P[X \leq x]$ et $P[|Z|\leq u] = 2\varphi(u)-1$.

IV. Loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$

$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\,\mathbf{1}_{x\geq 0}, $$
$$F(x) = (1-e^{-\lambda x})\,\mathbf{1}_{x\geq 0}$$
$$E[X] = \frac{1}{\lambda}, \qquad \mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$
Absence de mémoire : $P[X > t+s \mid X > t] = P[X > s]$ pour tous $s,t>0$.

V. Fonction d'une v.a. continue

Si $Y = \psi(X)$ avec $\psi$ bijective $C^1$ croissante, la densité de $Y$ est :
$$h(y) = \frac{f\!\left(\psi^{-1}(y)\right)}{\psi'\!\left(\psi^{-1}(y)\right)}$$
Si $F$ est la fonction de répartition de $X$, alors $F(X) \sim \mathcal{U}([0,1])$.

Simulation : si $U \sim \mathcal{U}([0,1])$, alors $Y = F^{-1}(U)$ a pour fonction de répartition $F$. Pour $\mathcal{E}(\lambda)$ : $Y = -\ln(1-U)/\lambda$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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