Mathématiques Financières — Résumé du cours

1. Outils mathématiques

Puissances : $a^n = a \times a \times \cdots \times a$, avec $a^0 = 1$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,
$a^{p/q} = \sqrt[q]{a^p}$.

Suites arithmétiques (raison $r$) : terme général $u_n = u_0 + nr$,
somme $S_n = \frac{(u_0 + u_n)(n+1)}{2}$.

Suites géométriques (raison $q$) : terme général $u_n = u_0 q^n$,
somme $S_n = u_0 \cdot \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ si $q \neq 1$.

Logarithmes et exponentielles : $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$,
$\log_a(x^r) = r\log_a x$, $\log_a(a^x) = x$.

2. Intérêts simples

Formule générale :
$$I = \frac{C \times n \times T}{100}$$
En jours : $I = \frac{C \times j \times T}{36000}$ \quad (année commerciale = 360 jours)

En mois : $I = \frac{C \times m \times T}{1200}$

Valeur acquise : $V_a = C + I$

Taux moyen de plusieurs placements :
$$T_m = \frac{\sum C_k j_k T_k}{\sum C_k j_k}$$

Intérêt postcompté : versé en fin d'opération (cas courant).
Intérêt précompté : versé en début d'opération ; le taux effectif vaut :
$$T_e = \frac{36000 \cdot T}{36000 - T \cdot j}$$

3. Escompte commercial

L'escompte est l'intérêt calculé sur la valeur nominale $V$ d'un effet de commerce,
de la date de remise à l'échéance :
$$e = \frac{V \cdot j \cdot T}{36000}$$

Valeur actuelle : $a = V - e$

En pratique, l'agio comprend l'escompte, des commissions et la TVA.
La valeur nette remise au client est : $V_n = V - \text{Agio TTC}$

Taux réel d'escompte :
$$T_r = \frac{\text{Agio TTC} \times 36000}{V \times \text{durée réelle}}$$

Taux de revient :
$$T_e = \frac{\text{Agio TTC} \times 36000}{V_n \times \text{durée réelle}}$$

Équivalence de deux effets $E_1$, $E_2$ à une date donnée :
$$V_1 - \frac{V_1 j_1 T}{36000} = V_2 - \frac{V_2 j_2 T}{36000}$$

Échéance commune : remplacement de plusieurs effets par un seul ; on résout pour $j$.

Échéance moyenne : cas particulier où $V = V_1 + V_2 + \cdots$, d'où :
$$V \cdot J = V_1 J_1 + V_2 J_2 + \cdots$$
(indépendant du taux)

4. Intérêts composés

Les intérêts sont capitalisés à chaque période. Valeur acquise après $n$ périodes entières :
$$C_n = C_0 (1 + i)^n$$

Durée fractionnaire $k + p/q$ — solution rationnelle :
$$C_{k+p/q} = C_0 (1+i)^k \left(1 + \frac{p}{q} i\right)$$

Solution commerciale :
$$C_{k+p/q} = C_0 (1+i)^{k + p/q}$$

La banque retient la solution commerciale (montant inférieur).

Taux proportionnel : $i_m = i_a / 12$, $i_t = i_a / 4$, etc. (ne donne pas la même valeur acquise).

Taux équivalent : deux taux $i_1$, $i_2$ de périodes $p_1$, $p_2$ sont équivalents si
$(1+i_1)^{p_1} = (1+i_2)^{p_2}$, par exemple :
$$i_s = \sqrt{1 + i_a} - 1, \quad i_t = \sqrt[4]{1+i_a} - 1, $$
$$i_m = \sqrt[12]{1+i_a} - 1$$

Valeur actuelle à intérêts composés :
$$C_0 = C_n (1+i)^{-n}$$

Calcul de la durée :
$$n = \frac{\ln(C_n / C_0)}{\ln(1+i)}$$

5. Annuités

Suite de versements constants $a$ en fin de période. Valeur acquise au dernier versement :
$$A_n = a \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$

Valeur actuelle (remboursement d'une dette) :
$$A_0 = a \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$$

Annuité de remboursement :
$$a = \frac{A_0 \cdot i}{1 - (1+i)^{-n}}$$

En cas de différé de $d$ périodes, on multiplie le dénominateur par $(1+i)^{-d}$.

Pour des mensualités ou trimestrialités, convertir d'abord le taux annuel
en taux de la période (équivalent ou proportionnel selon l'énoncé).

6. Amortissement des emprunts indivis

L'emprunt $C$ est remboursé par $n$ annuités constantes $a$.
Chaque annuité comprend les intérêts $I_k$ et l'amortissement $M_k$ :
$$a = I_k + M_k, \quad I_k = C_{k-1} \cdot i,$$
$$M_k = a - I_k$$

Les amortissements forment une suite géométrique de raison $(1+i)$ :
$$M_k = M_1 (1+i)^{k-1}$$

Intérêt de rang $k$ : $I_k = a - M_k$

Capital restant après l'annuité de rang $k$ : $C_k = C - \sum_{j=1}^{k} M_j$

Ref: Hasnaa BENOMAR — FSEJS Casablanca, Semestre 2

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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