Taux d'Intérêt Équivalent

1. Rappel — La capitalisation à intérêts composés

En intérêts composés, un capital $C_0$ placé pendant $n$ périodes
au taux $i$ par période produit la valeur acquise :
$$C_n = C_0 (1 + i)^n$$

Le taux $i$ utilisé dans cette formule doit toujours correspondre
à la période de capitalisation choisie (année, semestre,
trimestre, mois, etc.).

Lorsque le taux donné ne correspond pas à la période de capitalisation,
il faut le convertir. Deux méthodes existent :
le taux proportionnel et le taux équivalent.

2. Définition du taux équivalent

Deux taux $i_1$ et $i_2$, correspondant respectivement
aux périodes $p_1$ et $p_2$, sont dits équivalents
si, pour un même capital $C_0$ placé sur une même durée totale,
ils produisent la même valeur acquise à intérêts composés.

La condition d'équivalence s'écrit :
$$C_0 (1 + i_1)^{p_1} = C_0 (1 + i_2)^{p_2}$$
soit, en simplifiant par $C_0$ :
$$\boxed{(1 + i_1)^{p_1} = (1 + i_2)^{p_2}}$$

3. Formules de conversion entre périodes courantes

On part du taux annuel $i_a$ comme référence.

3.1 Taux semestriel équivalent $i_s$

Une année contient $2$ semestres, donc $p_1 = 1$ an et $p_2 = 2$ semestres :
$$(1 + i_a)^1 = (1 + i_s)^2$$
$$\boxed{i_s = \sqrt{1 + i_a} - 1 = (1 + i_a)^{1/2} - 1}$$

3.2 Taux trimestriel équivalent $i_t$

Une année contient $4$ trimestres :
$$(1 + i_a)^1 = (1 + i_t)^4$$
$$\boxed{i_t = \sqrt[4]{1 + i_a} - 1 = (1 + i_a)^{1/4} - 1}$$

3.3 Taux mensuel équivalent $i_m$

Une année contient $12$ mois :
$$(1 + i_a)^1 = (1 + i_m)^{12}$$
$$\boxed{i_m = \sqrt[12]{1 + i_a} - 1 = (1 + i_a)^{1/12} - 1}$$

3.4 Formule générale

Si l'on veut convertir un taux $i_1$ de période $p_1$
en un taux $i_2$ de période $p_2$ :
$$\boxed{i_2 = (1 + i_1)^{p_1 / p_2} - 1}$$

où $p_1 / p_2$ est le rapport entre les deux périodes
exprimées dans la même unité.

4. Taux équivalent vs taux proportionnel

Le taux proportionnel est une simple division du taux annuel :
$$i_m^{\text{prop}} = \frac{i_a}{12}, \quad
i_t^{\text{prop}} = \frac{i_a}{4}, \quad
i_s^{\text{prop}} = \frac{i_a}{2}$$

Le taux proportionnel est utilisé en intérêts simples.
En intérêts composés, il ne donne pas la même valeur acquise
que le taux annuel de référence, contrairement au taux équivalent.

Illustration numérique avec $C_0 = 10\,000$ dhs, $i_a = 12\%$,
durée $= 1$ an :

$$\text{Capitalisation annuelle :} \quad
C_1 = 10000(1{,}12)^1 = 11\,200 \text{ dhs}$$

$$\text{Taux trimestriel proportionnel } (3\%) :
\quad C_1 = 10000(1{,}03)^4 = 11\,255{,}09 \text{ dhs} \neq 11\,200$$

$$\text{Taux trimestriel équivalent } (2{,}874\%) :
\quad C_1 = 10000(1{,}02874)^4 = 11\,200 \text{ dhs} \checkmark$$

Conclusion : seul le taux équivalent préserve la cohérence
de la capitalisation à intérêts composés.

5. Tableau récapitulatif des équivalences

Pour un taux annuel $i_a$ donné :

$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\text{Période cible} & \text{Taux proportionnel} & \text{Taux équivalent} \\
\hline
\text{Semestriel} & \dfrac{i_a}{2} & (1+i_a)^{1/2} - 1 \\[8pt]
\text{Trimestriel} & \dfrac{i_a}{4} & (1+i_a)^{1/4} - 1 \\[8pt]
\text{Mensuel} & \dfrac{i_a}{12} & (1+i_a)^{1/12} - 1 \\[8pt]
\hline
\end{array}$$

6. Cas de conversion dans le sens inverse

On peut aussi partir d'un taux de sous-période
pour retrouver le taux annuel équivalent.

Si le taux mensuel équivalent est $i_m$, le taux annuel est :
$$(1 + i_a) = (1 + i_m)^{12}
\implies \boxed{i_a = (1 + i_m)^{12} - 1}$$

De même, à partir du taux trimestriel $i_t$ :
$$\boxed{i_a = (1 + i_t)^4 - 1}$$

7. Exemples résolus

Exemple 1 — Taux mensuel équivalent à $9\%$ annuel

$$i_m = (1 + 0{,}09)^{1/12} - 1
= (1{,}09)^{0{,}08333} - 1
\approx 0{,}007207 \approx 0{,}72\%$$

Vérification : $(1{,}007207)^{12} \approx 1{,}09$ \checkmark

Exemple 2 — Taux annuel équivalent à $2{,}5\%$ trimestriel

$$i_a = (1 + 0{,}025)^4 - 1
= (1{,}025)^4 - 1
\approx 1{,}10381 - 1
= 10{,}38\%$$

Exemple 3 — Taux mensuel équivalent à $9\%$ semestriel

Un semestre contient $6$ mois, donc $p_1/p_2 = 1/6$ :
$$i_m = (1 + 0{,}09)^{1/6} - 1
\approx 1{,}01449 - 1
= 1{,}449\%$$

Exemple 4 — Application au calcul de valeur acquise

Un capital de $450\,000$ dhs est placé pendant $6$ ans et $7$ mois,
capitalisation semestrielle, taux annuel $10{,}5\%$.

Étape 1 — Calcul du taux semestriel équivalent :
$$i_s = (1 + 0{,}105)^{1/2} - 1 = \sqrt{1{,}105} - 1 \approx 0{,}0512 \approx 5{,}12\%$$

Étape 2 — Conversion de la durée en semestres :
$6$ ans et $7$ mois $= 13$ semestres entiers $+$ $\dfrac{1}{6}$ semestre.

Étape 3 — Solution commerciale :
$$C_{13 + 1/6} = 450000 \times (1{,}0512)^{13 + 1/6} \approx 882\,680 \text{ dhs}$$

8. Propriétés importantes

La relation d'équivalence entre taux est :

transitive : si $i_1 \sim i_2$ et $i_2 \sim i_3$, alors $i_1 \sim i_3$.

symétrique : si $i_1 \sim i_2$, alors $i_2 \sim i_1$.

Elle définit une classe d'équivalence : tous les taux
d'une même classe produisent la même valeur acquise
pour un capital donné sur une durée donnée.

De plus, le taux équivalent est toujours inférieur
au taux proportionnel correspondant lorsque la période cible
est plus courte que la période de référence :
$$i_m^{\text{éq}} < i_m^{\text{prop}}, \quad
i_t^{\text{éq}} < i_t^{\text{prop}}$$

En conséquence, avec le taux équivalent, la valeur acquise
est identique à celle obtenue avec le taux annuel de référence,
tandis qu'avec le taux proportionnel elle est supérieure.

9. Résumé des formules clés

$$\boxed{
\begin{aligned}
&\text{Condition d'équivalence :} &&(1+i_1)^{p_1} = (1+i_2)^{p_2}\\[6pt]
&\text{Conversion générale :} &&i_2 = (1+i_1)^{p_1/p_2} - 1\\[6pt]
&\text{Annuel} \to \text{semestriel :} &&i_s = (1+i_a)^{1/2}-1\\[6pt]
&\text{Annuel} \to \text{trimestriel :} &&i_t = (1+i_a)^{1/4}-1\\[6pt]
&\text{Annuel} \to \text{mensuel :} &&i_m = (1+i_a)^{1/12}-1\\[6pt]
&\text{Mensuel} \to \text{annuel :} &&i_a = (1+i_m)^{12}-1\\[6pt]
&\text{Trimestriel} \to \text{annuel :} &&i_a = (1+i_t)^{4}-1
\end{aligned}
}$$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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