Amortissement d'emprunt

1. Définitions et vocabulaire

Un emprunt indivis est un emprunt contracté auprès
d'un seul créancier (une banque en général).
Le capital emprunté $C$ est remboursé progressivement
par une suite de versements périodiques appelés annuités.

Chaque versement (annuité) $a_k$ se décompose en deux parties :

$$\boxed{a_k = I_k + M_k}$$

où :
$\bullet$ $I_k$ désigne les intérêts dus au titre
de la période $k$, calculés sur le capital
restant dû en début de période,
$\bullet$ $M_k$ désigne l'amortissement du capital,
c'est-à-dire la fraction du capital remboursée
lors de la période $k$.

On note également :
$\bullet$ $C_k$ : capital restant dû après
le versement de l'annuité de rang $k$,
$\bullet$ $C_0 = C$ : capital emprunté initial,
$\bullet$ $n$ : nombre total de périodes de remboursement,
$\bullet$ $i$ : taux d'intérêt par période.

2. Relations fondamentales

2.1 Calcul des intérêts de rang $k$

Les intérêts de la période $k$ sont calculés sur le capital
restant dû au début de cette période, soit $C_{k-1}$ :
$$\boxed{I_k = C_{k-1} \times i}$$

2.2 Calcul de l'amortissement de rang $k$

L'amortissement est la partie de l'annuité qui rembourse
effectivement le capital :
$$\boxed{M_k = a_k - I_k}$$

2.3 Capital restant dû après le versement de rang $k$

À chaque période, le capital restant dû diminue
du montant de l'amortissement :
$$\boxed{C_k = C_{k-1} - M_k}$$

On peut aussi écrire directement :
$$C_k = C_0 - \sum_{j=1}^{k} M_j$$

2.4 Condition de soldement de la dette

À l'issue du dernier versement, la dette doit être
intégralement remboursée :
$$C_n = 0 \quad \text{et} \quad \sum_{k=1}^{n} M_k = C_0$$

3. Remboursement par annuités constantes

C'est le cas le plus courant dans la pratique bancaire.
Toutes les annuités sont égales : $a_k = a$ pour tout $k$.

3.1 Calcul de l'annuité constante

La valeur actuelle des $n$ annuités constantes doit être
égale au capital emprunté $C_0$ :
$$C_0 = a \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$$

On en déduit l'annuité de remboursement :
$$\boxed{a = \frac{C_0 \times i}{1 - (1+i)^{-n}}}$$

3.2 Évolution des amortissements

Dans le cas des annuités constantes, comme l'annuité $a$
est fixe mais les intérêts $I_k$ diminuent au fil des périodes
(car le capital restant dû diminue), les amortissements
$M_k = a - I_k$ augmentent progressivement.

On démontre que les amortissements forment une
suite géométrique de raison $(1+i)$ :
$$\boxed{M_k = M_1 \times (1+i)^{k-1}}$$

avec le premier amortissement :
$$M_1 = a - C_0 \times i = a \times (1+i)^{-(n-1+1)}
= \frac{C_0 \times i}{(1+i)^n - 1}$$

Plus simplement :
$$M_1 = a - i \cdot C_0$$

3.3 Formules directes de rang quelconque

Sans construire le tableau ligne par ligne, on peut
calculer directement les grandeurs de rang $k$ :

Amortissement de rang $k$ :
$$\boxed{M_k = M_1 \times (1+i)^{k-1}}$$

Intérêt de rang $k$ :
$$\boxed{I_k = a - M_k = a - M_1(1+i)^{k-1}}$$

Capital restant dû après le versement de rang $k$ :
$$\boxed{C_k = C_0 \cdot (1+i)^k - a \cdot \frac{(1+i)^k - 1}{i}}$$

ou encore, de manière équivalente :
$$C_k = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}$$

ce qui correspond à la valeur actuelle des $(n-k)$
annuités restant à verser.

4. Construction du tableau d'amortissement

Le tableau d'amortissement présente, période par période,
l'état de la dette et sa décomposition.
Il comporte les colonnes suivantes :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\textit{Période } k
& \textit{Capital début } C_{k-1}
& \textit{Intérêts } I_k
& \textit{Amortissement } M_k
& \textit{Capital fin } C_k \\
\hline
1 & C_0 & C_0 \cdot i & a - I_1 & C_0 - M_1 \\
2 & C_1 & C_1 \cdot i & a - I_2 & C_1 - M_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
n & C_{n-1} & C_{n-1} \cdot i & a - I_n & 0 \\
\hline
\textit{Total} & & \sum I_k & C_0 & \\
\hline
\end{array}$$

Remarque importante : La somme de la colonne
amortissement doit être égale au capital emprunté $C_0$.
La somme de la colonne intérêts représente le coût total
du crédit.

Exemple — Tableau d'amortissement complet

Emprunt de $350\,000$ dhs, taux $i = 12\%$ l'an,
remboursable en $n = 4$ annuités constantes.

Calcul de l'annuité :
$$a = \frac{350000 \times 0{,}12}{1-(1{,}12)^{-4}}
= \frac{42000}{0{,}36388}
\approx 115\,388{,}17 \text{ dhs}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k & C_{k-1} & I_k & M_k & C_k \\
\hline
1 & 350\,000{,}00 & 42\,000{,}00 & 73\,388{,}17 & 276\,611{,}83 \\
2 & 276\,611{,}83 & 33\,193{,}42 & 82\,194{,}75 & 194\,417{,}08 \\
3 & 194\,417{,}08 & 23\,330{,}05 & 92\,058{,}12 & 102\,358{,}96 \\
4 & 102\,358{,}96 & 12\,283{,}07 & 103\,105{,}10 & 0{,}00 \\
\hline
\textit{Total} & & 110\,806{,}54 & 350\,000{,}00 & \\
\hline
\end{array}$$

Le coût total du crédit est de $110\,806{,}54$ dhs.

5. Remboursement par amortissements constants

Dans ce cas, le capital est remboursé par tranches égales :
$$\boxed{M_k = \frac{C_0}{n} \quad \text{pour tout } k}$$

Les annuités, elles, sont décroissantes
car les intérêts diminuent à chaque période.

Intérêt de rang $k$ :
$$I_k = C_{k-1} \times i
= \left(C_0 - (k-1)\frac{C_0}{n}\right) \times i
= C_0 \cdot i \cdot \frac{n - k + 1}{n}$$

Annuité de rang $k$ :
$$\boxed{a_k = \frac{C_0}{n} + C_0 \cdot i \cdot \frac{n-k+1}{n}}$$

Exemple

Emprunt de $60\,000$ dhs, $n = 3$ ans, $i = 10\%$.
$M_k = 60000/3 = 20\,000$ dhs pour tout $k$.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k & C_{k-1} & I_k & M_k & C_k \\
\hline
1 & 60\,000 & 6\,000 & 20\,000 & 40\,000 \\
2 & 40\,000 & 4\,000 & 20\,000 & 20\,000 \\
3 & 20\,000 & 2\,000 & 20\,000 & 0 \\
\hline
\textit{Total} & & 12\,000 & 60\,000 & \\
\hline
\end{array}$$

6. Remboursement in fine

L'emprunteur ne verse que les intérêts chaque période
et rembourse la totalité du capital lors du dernier versement.

Pour $k = 1, 2, \ldots, n-1$ :
$$I_k = C_0 \times i, \quad M_k = 0, \quad a_k = C_0 \times i$$

Pour $k = n$ (dernière période) :
$$a_n = C_0 + C_0 \times i = C_0(1 + i)$$

Remarque : Ce mode est plus coûteux en intérêts totaux
car le capital reste entier pendant toute la durée du prêt.

Coût total des intérêts :
$$\sum_{k=1}^{n} I_k = n \times C_0 \times i.$$

7. Remboursement différé

Lorsque le premier versement n'intervient pas une période
après la date du contrat, on parle de remboursement différé.

Soit $d$ le nombre de périodes de différé.
La valeur actuelle des annuités, ramenée à la date du contrat,
doit toujours être égale à $C_0$ :

$$C_0 = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \cdot (1+i)^{-d}$$

d'où :
$$\boxed{a = \frac{C_0 \times i}{\left(1-(1+i)^{-n}\right)(1+i)^{-d}}}$$

Pendant la période de différé, les intérêts s'accumulent
sans remboursement de capital, ce qui renchérit le coût total.

8. Coût total du crédit et taux effectif global

8.1 Coût total

Le coût total du crédit correspond à la somme de tous
les intérêts versés :
$$\text{Coût total} = \sum_{k=1}^{n} a_k - C_0
= n \times a - C_0 \quad \text{(annuités constantes)}$$

8.2 Comparaison des trois modes de remboursement

Pour un même emprunt $C_0$, un même taux $i$
et une même durée $n$, on a toujours :

$$\text{Coût}(\textit{in fine})
> \text{Coût}(\textit{annuités constantes})
> \text{Coût}(\textit{amortissements constants})$$

En effet, plus le capital est remboursé rapidement,
moins les intérêts s'accumulent.

9. Résumé des formules essentielles

$$\boxed{
\begin{aligned}
&\text{Annuité constante :}
&&a = \frac{C_0 \cdot i}{1-(1+i)^{-n}}\\[8pt]
&\text{Intérêt de rang } k :
&&I_k = C_{k-1} \cdot i\\[8pt]
&\text{Amortissement de rang } k :
&&M_k = a - I_k\\[8pt]
&\text{Suite des amortissements :}
&&M_k = M_1(1+i)^{k-1}\\[8pt]
&\text{Capital restant dû après rang } k :
&&C_k = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}\\[8pt]
&\text{Amortissement constant :}
&&M_k = \frac{C_0}{n}\\[8pt]
&\text{Annuité décroissante :}
&&a_k = \frac{C_0}{n} + C_0 \cdot i \cdot \frac{n-k+1}{n}\\[8pt]
&\text{Différé de } d \text{ périodes :}
&&a = \frac{C_0 \cdot i}{\left(1-(1+i)^{-n}\right)(1+i)^{-d}}\\[8pt]
&\text{Remboursement } \textit{in fine} :
&&a_k = C_0 \cdot i \text{ puis } a_n = C_0(1+i)
\end{aligned}
}$$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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