Annuités Constantes et Annuités Variables

1. Notion d'annuité — Définitions générales

On appelle annuité toute somme versée ou reçue
à intervalles de temps réguliers dans le cadre d'une
opération financière.

Le terme annuité désigne au sens large
tout versement périodique, quelle que soit la période :

$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Périodicité} & \text{Dénomination} \\
\hline
\text{Annuelle} & \text{Annuité} \\
\text{Semestrielle} & \text{Semestrialité} \\
\text{Trimestrielle} & \text{Trimestrialité} \\
\text{Mensuelle} & \text{Mensualité} \\
\hline
\end{array}$$

On distingue deux grandes familles d'annuités :

les annuités de fin de période (ou annuités immédiates) :
le versement a lieu à la fin de chaque période.

les annuités de début de période (ou annuités dues) :
le versement a lieu au début de chaque période.

Remarque : Sauf mention contraire, on travaille
toujours avec des annuités de fin de période.

On distingue également :

les annuités constantes : tous les versements
sont de même montant $a$.

les annuités variables : les versements
diffèrent d'une période à l'autre selon une loi
mathématique (progression arithmétique ou géométrique).

2. Annuités constantes de fin de période

2.1 Valeur acquise d'une suite d'annuités constantes

Soit $a$ le montant de l'annuité constante,
$n$ le nombre de versements,
$i$ le taux d'intérêt par période.

Le premier versement, effectué à la fin de la période $1$,
est capitalisé pendant $n-1$ périodes et produit $a(1+i)^{n-1}$.
Le second versement produit $a(1+i)^{n-2}$.
Le dernier versement, effectué à la fin de la période $n$,
n'est pas capitalisé et vaut simplement $a$.

La valeur acquise au moment du dernier versement est donc :
$$A_n = a(1+i)^{n-1} + a(1+i)^{n-2} + \cdots + a$$
$$A_n = a \sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^k$$

C'est la somme d'une suite géométrique de premier terme $a$,
de raison $(1+i)$ et de $n$ termes :
$$\boxed{A_n = a \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}}$$

2.2 Valeur acquise à une date ultérieure

Si l'on souhaite connaître la valeur acquise $p$ périodes
après le dernier versement :
$$\boxed{A_{n+p} = a \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i} \cdot (1+i)^p}$$

Pour une durée fractionnaire $p/q$ après le dernier versement,
on utilise la solution commerciale :
$$A_{n + p/q} = A_n \cdot (1+i)^{p/q}$$

ou la solution rationnelle :
$$A_{n + p/q} = A_n \cdot \left(1 + \frac{p}{q} \cdot i\right)$$

2.3 Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes

La valeur actuelle $A_0$ est évaluée une période
avant le premier versement. Elle correspond à la somme
des valeurs actuelles de chaque annuité :
$$A_0 = \frac{a}{(1+i)} + \frac{a}{(1+i)^2}
+ \cdots + \frac{a}{(1+i)^n}$$
$$A_0 = a \sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k}$$

On obtient :
$$\boxed{A_0 = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}}$$

On vérifie la cohérence : $A_0 = A_n \cdot (1+i)^{-n}$.

2.4 Calcul de l'annuité $a$

En remboursement d'une dette $A_0$ :
$$\boxed{a = \frac{A_0 \cdot i}{1-(1+i)^{-n}}}$$

En constitution d'un capital $A_n$ :
$$\boxed{a = \frac{A_n \cdot i}{(1+i)^n - 1}}$$

2.5 Calcul du nombre de périodes $n$

En partant de la valeur actuelle $A_0$ connue :
$$A_0 = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
\implies (1+i)^{-n} = 1 - \frac{A_0 \cdot i}{a}$$
$$\boxed{n = \frac{-\ln\!\left(1 - \dfrac{A_0 \cdot i}{a}\right)}
{\ln(1+i)}}$$

2.6 Annuités différées

Lorsque le premier versement n'intervient pas
une période après la date de référence,
on parle d'annuités différées de $d$ périodes.
La valeur actuelle à la date du contrat devient :
$$\boxed{A_0 = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i} \cdot (1+i)^{-d}}$$

et l'annuité de remboursement :
$$\boxed{a = \frac{A_0 \cdot i}
{\left(1-(1+i)^{-n}\right)(1+i)^{-d}}}$$

2.7 Annuités dues (début de période)

Chaque versement est avancé d'une période par rapport
aux annuités de fin de période. Il suffit de multiplier
les formules précédentes par $(1+i)$ :

Valeur acquise :
$$\boxed{A_n^{\text{due}} = a \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}
\cdot (1+i)}$$

Valeur actuelle :
$$\boxed{A_0^{\text{due}} = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
\cdot (1+i)}$$

3. Exemple complet — Annuités constantes

Énoncé

Un particulier verse $5\,000$ Fcfa à la fin de chaque année
pendant $8$ ans sur un compte rémunéré à $6\%$ l'an.

a) Quelle est la valeur acquise au moment du dernier versement ?

b) Quelle est la valeur acquise $2$ ans après le dernier versement ?

c) Quelle somme aurait-il fallu placer en une seule fois
aujourd'hui pour obtenir le même résultat qu'en (a) ?

Solution

Données : $a = 5\,000$ Fcfa, $n = 8$, $i = 0{,}06$.

a) Valeur acquise au dernier versement :
$$A_8 = 5000 \times \frac{(1{,}06)^8 - 1}{0{,}06}
= 5000 \times \frac{1{,}59385 - 1}{0{,}06}
= 5000 \times 9{,}8975
\approx 49\,487{,}35 \text{ Fcfa}$$

b) Valeur acquise $2$ ans après :
$$A_{8+2} = 49487{,}35 \times (1{,}06)^2
= 49487{,}35 \times 1{,}1236
\approx 55\,600{,}00 \text{ Fcfa}$$

c) Valeur actuelle :
$$A_0 = 49487{,}35 \times (1{,}06)^{-8}
= 49487{,}35 \times 0{,}62741
\approx 31\,049{,}16 \text{ Fcfa}$$

4. Annuités variables en progression arithmétique

4.1 Définition

Les annuités forment une suite arithmétique
de premier terme $a_1$ et de raison $r$ :
$$a_k = a_1 + (k-1)r \quad \text{pour } k = 1, 2, \ldots, n$$

Le montant des versements augmente (si $r > 0$)
ou diminue (si $r < 0$) de façon constante à chaque période.

4.2 Valeur acquise

$$A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k (1+i)^{n-k}
= \sum_{k=1}^{n} \left[a_1 + (k-1)r\right](1+i)^{n-k}$$

On décompose :
$$A_n = a_1 \sum_{k=1}^{n}(1+i)^{n-k}
+ r \sum_{k=1}^{n}(k-1)(1+i)^{n-k}$$

Le premier terme est la valeur acquise d'une annuité
constante $a_1$ :
$$S_1 = a_1 \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$

Le second terme fait intervenir la somme :
$$S_2 = \frac{r}{i}\left[\frac{(1+i)^n-1}{i} - n\right]$$

D'où la valeur acquise totale :
$$\boxed{A_n = a_1 \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}
+ \frac{r}{i}\left[\frac{(1+i)^n-1}{i} - n\right]}$$

4.3 Valeur actuelle

$$\boxed{A_0 = a_1 \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
+ \frac{r}{i}\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}
- n(1+i)^{-n}\right]}$$

4.4 Exemple

Un investisseur verse en fin d'année des annuités
croissantes : $10\,000$ Fcfa la première année,
puis chaque versement augmente de $1\,000$ Fcfa.
Durée : $5$ ans. Taux : $8\%$ l'an.

Données : $a_1 = 10\,000$ Fcfa, $r = 1\,000$ Fcfa,
$n = 5$, $i = 0{,}08$.

Les annuités sont :
$a_1 = 10\,000$ Fcfa, $a_2 = 11\,000$ Fcfa,
$a_3 = 12\,000$ Fcfa, $a_4 = 13\,000$ Fcfa,
$a_5 = 14\,000$ Fcfa.

$$S_1 = 10000 \times \frac{(1{,}08)^5-1}{0{,}08}
= 10000 \times 5{,}8666
= 58\,666{,}00 \text{ Fcfa}$$

$$S_2 = \frac{1000}{0{,}08}
\left[\frac{(1{,}08)^5-1}{0{,}08}-5\right]
= 12500 \times [5{,}8666 - 5]
= 12500 \times 0{,}8666
= 10\,832{,}50 \text{ Fcfa}$$

$$A_5 = 58\,666{,}00 + 10\,832{,}50
= 69\,498{,}50 \text{ Fcfa}$$

5. Annuités variables en progression géométrique

5.1 Définition

Les annuités forment une suite géométrique
de premier terme $a_1$ et de raison $q$ :
$$a_k = a_1 \cdot q^{k-1} \quad \text{pour } k = 1, 2, \ldots, n$$

Ce modèle est fréquemment utilisé pour modéliser
des loyers ou des revenus indexés sur l'inflation.

5.2 Valeur acquise

$$A_n = \sum_{k=1}^{n} a_1 q^{k-1}(1+i)^{n-k}
= a_1(1+i)^{n-1}\sum_{k=1}^{n}
\left(\frac{q}{1+i}\right)^{k-1}$$

On pose $\rho = \dfrac{q}{1+i}$ (rapport de deux raisons).

Cas 1 — $q \neq 1+i$ (c'est-à-dire $\rho \neq 1$) :
$$\boxed{A_n = a_1 \cdot \frac{(1+i)^n - q^n}{1+i-q}}$$

Cas 2 — $q = 1+i$ (c'est-à-dire $\rho = 1$) :

La suite des termes $a_k(1+i)^{n-k}$ est constante,
chaque terme valant $a_1(1+i)^{n-1}$, donc :
$$\boxed{A_n = n \cdot a_1 \cdot (1+i)^{n-1}}$$

5.3 Valeur actuelle

Pour $q \neq 1+i$ :
$$\boxed{A_0 = a_1 \cdot
\frac{1 - \left(\dfrac{q}{1+i}\right)^n}{1+i-q}}$$

Pour $q = 1+i$ :
$$\boxed{A_0 = \frac{n \cdot a_1}{1+i}}$$

5.4 Exemple

Un propriétaire perçoit un loyer de $120\,000$ Fcfa
la première année, revalorisé de $3\%$ par an.
Durée : $6$ ans. Taux d'actualisation : $7\%$ l'an.

Données : $a_1 = 120\,000$ Fcfa, $q = 1{,}03$,
$n = 6$, $i = 0{,}07$.

Valeur acquise ($q \neq 1+i$) :
$$A_6 = 120000 \times
\frac{(1{,}07)^6 - (1{,}03)^6}{1{,}07 - 1{,}03}
= 120000 \times \frac{1{,}50073 - 1{,}19405}{0{,}04}
= 120000 \times 7{,}6670
\approx 920\,040{,}00 \text{ Fcfa}$$

Valeur actuelle :
$$A_0 = 120000 \times
\frac{1 - \left(\frac{1{,}03}{1{,}07}\right)^6}{1{,}07-1{,}03}
= 120000 \times \frac{1 - 0{,}79565}{0{,}04}
= 120000 \times 5{,}1088
\approx 613\,056{,}00 \text{ Fcfa}$$

6. Tableau comparatif des formules

$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
\text{Type d'annuité}
& \text{Valeur acquise } A_n
& \text{Valeur actuelle } A_0 \\
\hline
\text{Constante}
& a \cdot \dfrac{(1+i)^n-1}{i}
& a \cdot \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} \\[10pt]
\text{Constante due}
& a \cdot \dfrac{(1+i)^n-1}{i}(1+i)
& a \cdot \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}(1+i) \\[10pt]
\text{Arithmétique}
& S_1 + S_2
& (S_1+S_2)(1+i)^{-n} \\[10pt]
\text{Géométrique } (q \neq 1+i)
& a_1 \cdot \dfrac{(1+i)^n-q^n}{1+i-q}
& a_1 \cdot \dfrac{1-(q/(1+i))^n}{1+i-q} \\[10pt]
\text{Géométrique } (q = 1+i)
& n \cdot a_1(1+i)^{n-1}
& \dfrac{n \cdot a_1}{1+i} \\[10pt]
\hline
\end{array}$$

7. Résumé des formules essentielles

$$\boxed{
\begin{aligned}
&\textit{Annuité constante — valeur acquise :}
&&A_n = a \cdot \frac{(1+i)^n-1}{i}\\[8pt]
&\textit{Annuité constante — valeur actuelle :}
&&A_0 = a \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\\[8pt]
&\textit{Annuité de remboursement :}
&&a = \frac{A_0 \cdot i}{1-(1+i)^{-n}}\\[8pt]
&\textit{Annuité de constitution :}
&&a = \frac{A_n \cdot i}{(1+i)^n-1}\\[8pt]
&\textit{Nombre de périodes :}
&&n = \frac{-\ln\!\left(1-\frac{A_0 \cdot i}{a}
\right)}{\ln(1+i)}\\[8pt]
&\textit{Différé de } d \text{ périodes :}
&&a = \frac{A_0 \cdot i}
{\left(1-(1+i)^{-n}\right)(1+i)^{-d}}\\[8pt]
&\textit{Arithmétique — valeur acquise :}
&&A_n = a_1\frac{(1+i)^n-1}{i}
+\frac{r}{i}\!\left[\frac{(1+i)^n-1}{i}-n\right]\\[8pt]
&\textit{Géométrique } (q\neq 1+i)
\textit{ — valeur acquise :}
&&A_n = a_1 \cdot \frac{(1+i)^n-q^n}{1+i-q}\\[8pt]
&\textit{Géométrique } (q = 1+i)
\textit{ — valeur acquise :}
&&A_n = n \cdot a_1 \cdot (1+i)^{n-1}
\end{aligned}
}$$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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