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Etudes de fonctions

L’étude de fonctions consiste à analyser le comportement d’une fonction réelle afin d’en comprendre la forme et les variations. Elle comprend la recherche du domaine de définition, des limites, de la continuité, de la dérivabilité et du sens de variation à l’aide de la dérivée. On y étudie aussi les asymptotes, les extrema et la représentation graphique. Ce cours permet de décrire précisément une fonction et d’interpréter ses résultats de manière graphique et analytique.

1. Asymptotes

Asymptote verticale

La droite $x=a$ est une asymptote verticale si :
\[
\lim_{x \to a^-} f(x)=\pm\infty \text{ ou } \lim_{x \to a^+} f(x)=\pm\infty
\]
Une asymptote verticale existe seulement si la fonction n’est pas définie en $a$ (sauf cas particuliers de prolongement).

Asymptote affine

Une droite $y=mx+h$ est asymptote si :
\[
\lim_{x\to\pm\infty} \left[f(x)-(mx+h)\right]=0
\]
Coefficients :
\[
m=\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \, h=\lim_{x\to\pm\infty} \left[f(x)-mx\right]
\]
Si $m=0$, l’asymptote est horizontale.

Attention : asymptotes différentes en $+\infty$ et $-\infty$.

2. Méthode générale d’étude

Une étude de fonction suit une démarche structurée :

1- Déterminer l’ensemble de définition $D$

2- Étudier la parité :
$f$ paire si $f(x)=f(-x)$, impaire si $f(x)=-f(-x)$

3- Étudier le signe en résolvant $f(x)=0$

4- Chercher les asymptotes verticales et les éventuels trous
- Déterminer les asymptotes affines

5- Étudier les variations avec la dérivée
- Étudier la concavité avec la dérivée seconde

6- Tracer la courbe

3. Signe d’une fonction

On résout $f(x)=0$, puis on étudie le signe des facteurs.

Le signe global dépend du produit des signes.

4. Croissance et extrema

On calcule $f'(x)$.

Un point critique vérifie :
\[
f'(c)=0 \quad \text{ou} \quad f'(c) \text{ n’existe pas}
\]

Le signe de $f'(x)$ donne :

$f'(x)>0$ $\Rightarrow$ fonction croissante

$f'(x) \text{ négative }$ $\Rightarrow$ fonction décroissante

On identifie ainsi les minima et maxima.

5. Concavité et points d’inflexion

On utilise la dérivée seconde $f''(x)$.
\[
f''(x)>0 \Rightarrow \text{fonction convexe}
\]
\[
f''(x) \text{ négative } \Rightarrow \text{fonction concave}
\]
Un point d’inflexion vérifie un changement de signe de $f''(x)$.

6. Exemple type de structure

Pour une fonction rationnelle :
\[
f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}
\]
Domaine :
\[
D=\mathbb{R}\setminus\{1\}
\]
Zéro :
\[
x=0
\]
Asymptote verticale :
\[
x=1
\]
Asymptote affine :
\[
y=x+2
\]
Dérivée :
\[
f'(x)=\frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}
\]
Points critiques :
\[
x=0, \quad x=3
\]
Dérivée seconde :
\[
f''(x)=\frac{6x}{(x-1)^4}
\]
Point d’inflexion :
\[
(0,0)
\]

7. Représentation graphique

(a) Tracer d’abord les asymptotes

(b) Placer les points remarquables

(c) Utiliser les variations et la concavité

(d) Compléter le graphe de manière cohérente

8. Idées clés

(i) Une étude de fonction est une procédure systématique.
(ii) Les asymptotes décrivent le comportement aux limites.
(iii) La dérivée décrit les variations.
(iv) La dérivée seconde décrit la forme de la courbe.

NB. Tous les éléments doivent être combinés pour tracer le graphe de la fonction.

Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

Etudes de fonctions

1. Asymptotes

2. Méthode générale d’étude

3. Signe d’une fonction

4. Croissance et extrema

5. Concavité et points d’inflexion

6. Exemple type de structure

7. Représentation graphique

8. Idées clés

Testez vos connaissances

1. Une droite $x = a$ est une asymptote verticale de la fonction $f$ si :
(Indication : Voir la définition page 1 : il faut une limite infinie quand $x$ tend vers $a$.)

2. Pour une asymptote affine $y = mx + h$ en $+\infty$, la pente $m$ est donnée par :
(Indication : Formule donnée page 1 : $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$.)

3. La droite $y = 2$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ pour une fonction $f$. Cela signifie que :
(Indication : Une asymptote horizontale correspond au cas $m = 0$ dans l’asymptote affine $y = mx + h$, donc $\lim f(x) = h$.)

4. Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. La ou les asymptotes verticales de $f$ sont :
(Indication : L’asymptote verticale se trouve là où le dénominateur s’annule et le numérateur non, ici $x-3=0 \Rightarrow x=3$.)

6. On étudie $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$. En $+\infty$, l’asymptote affine est $y = x + 2$. Que vaut $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x+2)]$ ?
(Indication : Par définition d’une asymptote affine, la différence tend vers $0$ (voir page 1).)

7. Pour la même fonction $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$, la dérivée est $f'(x) = \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}$. Sur l’intervalle $]1, 3[$, le signe de $f'$ est :
(Indication : Pour $x \in ]1,3[$, $x^2 > 0$, $(x-3) < 0$, $(x-1)^3 > 0$, donc $f'(x) < 0$.)

8. Avec $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$, on a $f''(x) = \frac{6x}{(x-1)^4}$. Le point d’inflexion est en :
(Indication : La dérivée seconde s’annule en $x=0$ et change de signe, donc point d’inflexion (voir page 5 du cours).)

9. Combien d’étapes comporte la méthode d’étude complète d’une fonction présentée dans le cours ?
(Indication : Le paragraphe 5.2 liste les étapes (ensemble de définition, parité, signe,...).)

10. La fonction $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ présente en $x=0$ :
(Indication : Le cours page 2 mentionne que $\frac{\sin x}{x}$ a un trou en $x=0$ (la limite vaut $1$ mais la fonction n’est pas définie en $0$).)

Résultat : /

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Etudes de fonctions

1. Asymptotes

2. Méthode générale d’étude

3. Signe d’une fonction

4. Croissance et extrema

5. Concavité et points d’inflexion

6. Exemple type de structure

7. Représentation graphique

8. Idées clés

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1. Une droite $x = a$ est une asymptote verticale de la fonction $f$ si : (Indication : Voir la définition page 1 : il faut une limite infinie quand $x$ tend vers $a$.)

2. Pour une asymptote affine $y = mx + h$ en $+\infty$, la pente $m$ est donnée par : (Indication : Formule donnée page 1 : $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$.)

3. La droite $y = 2$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ pour une fonction $f$. Cela signifie que : (Indication : Une asymptote horizontale correspond au cas $m = 0$ dans l’asymptote affine $y = mx + h$, donc $\lim f(x) = h$.)

4. Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. La ou les asymptotes verticales de $f$ sont : (Indication : L’asymptote verticale se trouve là où le dénominateur s’annule et le numérateur non, ici $x-3=0 \Rightarrow x=3$.)

6. On étudie $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$. En $+\infty$, l’asymptote affine est $y = x + 2$. Que vaut $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x+2)]$ ? (Indication : Par définition d’une asymptote affine, la différence tend vers $0$ (voir page 1).)

7. Pour la même fonction $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$, la dérivée est $f'(x) = \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}$. Sur l’intervalle $]1, 3[$, le signe de $f'$ est : (Indication : Pour $x \in ]1,3[$, $x^2 > 0$, $(x-3) < 0$, $(x-1)^3 > 0$, donc $f'(x) < 0$.)

8. Avec $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$, on a $f''(x) = \frac{6x}{(x-1)^4}$. Le point d’inflexion est en : (Indication : La dérivée seconde s’annule en $x=0$ et change de signe, donc point d’inflexion (voir page 5 du cours).)

9. Combien d’étapes comporte la méthode d’étude complète d’une fonction présentée dans le cours ? (Indication : Le paragraphe 5.2 liste les étapes (ensemble de définition, parité, signe,...).)

10. La fonction $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ présente en $x=0$ : (Indication : Le cours page 2 mentionne que $\frac{\sin x}{x}$ a un trou en $x=0$ (la limite vaut $1$ mais la fonction n’est pas définie en $0$).)

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1. Une droite $x = a$ est une asymptote verticale de la fonction $f$ si :
(Indication : Voir la définition page 1 : il faut une limite infinie quand $x$ tend vers $a$.)

2. Pour une asymptote affine $y = mx + h$ en $+\infty$, la pente $m$ est donnée par :
(Indication : Formule donnée page 1 : $m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$.)

3. La droite $y = 2$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ pour une fonction $f$. Cela signifie que :
(Indication : Une asymptote horizontale correspond au cas $m = 0$ dans l’asymptote affine $y = mx + h$, donc $\lim f(x) = h$.)

4. Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. La ou les asymptotes verticales de $f$ sont :
(Indication : L’asymptote verticale se trouve là où le dénominateur s’annule et le numérateur non, ici $x-3=0 \Rightarrow x=3$.)

6. On étudie $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$. En $+\infty$, l’asymptote affine est $y = x + 2$. Que vaut $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (x+2)]$ ?
(Indication : Par définition d’une asymptote affine, la différence tend vers $0$ (voir page 1).)

7. Pour la même fonction $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$, la dérivée est $f'(x) = \frac{x^2(x-3)}{(x-1)^3}$. Sur l’intervalle $]1, 3[$, le signe de $f'$ est :
(Indication : Pour $x \in ]1,3[$, $x^2 > 0$, $(x-3) < 0$, $(x-1)^3 > 0$, donc $f'(x) < 0$.)

8. Avec $f(x) = \frac{x^3}{(x-1)^2}$, on a $f''(x) = \frac{6x}{(x-1)^4}$. Le point d’inflexion est en :
(Indication : La dérivée seconde s’annule en $x=0$ et change de signe, donc point d’inflexion (voir page 5 du cours).)

9. Combien d’étapes comporte la méthode d’étude complète d’une fonction présentée dans le cours ?
(Indication : Le paragraphe 5.2 liste les étapes (ensemble de définition, parité, signe,...).)

10. La fonction $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ présente en $x=0$ :
(Indication : Le cours page 2 mentionne que $\frac{\sin x}{x}$ a un trou en $x=0$ (la limite vaut $1$ mais la fonction n’est pas définie en $0$).)