Fonctions hyperboliques

Les fonctions hyperboliques, comme sinh, cosh et tanh, sont des fonctions définies à partir de l’exponentielle. Elles sont analogues aux fonctions trigonométriques, mais liées à l’hyperbole plutôt qu’au cercle. Le cours présente leurs définitions, leurs propriétés algébriques, leurs variations et leurs dérivées. Ces fonctions interviennent dans la résolution de certaines équations différentielles, en physique et en modélisation de phénomènes continus.

$\textbf{1. Définitions}$
\[
\mathrm{ch}\,x = \frac{e^x+e^{-x}}{2},\quad
\mathrm{sh}\,x = \frac{e^x-e^{-x}}{2},\]\[
\mathrm{th}\,x = \frac{\mathrm{sh}\,x}{\mathrm{ch}\,x},\quad
\mathrm{coth}\,x = \frac{\mathrm{ch}\,x}{\mathrm{sh}\,x}
\]
Domaine et image :
\[
\mathrm{ch}:\mathbb{R}\to[1,+\infty),\quad
\mathrm{sh}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\]\[
\mathrm{th}:\mathbb{R}\to]-1,1[,\]\[
\mathrm{coth}:\mathbb{R}^*\to]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[
\]

$\textbf{2. Identité fondamentale}$
\[
\mathrm{ch}^2x - \mathrm{sh}^2x = 1
\]

$\textbf{3. Relations avec l’exponentielle}$
\[
\mathrm{ch}\,x + \mathrm{sh}\,x = e^x,\qquad
\mathrm{ch}\,x - \mathrm{sh}\,x = e^{-x}
\]

$\textbf{4. Parité et monotonie}$
\(\mathrm{ch}\) est paire, \(\mathrm{sh}\text{ et }\mathrm{th}\) sont impaires.
\(\mathrm{sh}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\mathrm{ch}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^+\).
\(\mathrm{th}\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\(\mathrm{coth}\) est strictement décroissante sur chaque intervalle de son domaine.

$\textbf{5. Dérivées}$
\[
(\mathrm{sh}\,x)' = \mathrm{ch}\,x,\quad
(\mathrm{ch}\,x)' = \mathrm{sh}\,x,\]\[
(\mathrm{th}\,x)' = 1-\mathrm{th}^2x = \frac{1}{\mathrm{ch}^2x},\]\[
(\mathrm{coth}\,x)' = 1-\mathrm{coth}^2x = -\frac{1}{\mathrm{sh}^2x}
\]

$\textbf{6. Limites et asymptotes}$
\[
\lim_{x\to\pm\infty}\mathrm{sh}\,x = \pm\infty,\quad
\lim_{x\to\pm\infty}\mathrm{ch}\,x = +\infty,\]\[
\lim_{x\to+\infty}\mathrm{th}\,x = 1,\quad
\lim_{x\to-\infty}\mathrm{th}\,x = -1
\]
\[
\lim_{x\to0^+}\mathrm{coth}\,x = +\infty,\quad
\lim_{x\to0^-}\mathrm{coth}\,x = -\infty\]\[
\lim_{x\to\pm\infty}\mathrm{coth}\,x = \pm1
\]

$\textbf{7. Développements limités en 0}$
\(\mathrm{sh}\,x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +\)\( \cdots + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) \)

\(\mathrm{ch}\,x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +\)\( \cdots + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) \)

\(\mathrm{th}\,x = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + o(x^5)\)

$\textbf{8. Formules d’addition}$
\begin{align*}
\mathrm{ch}(a+b) &= \mathrm{ch}\,a\,\mathrm{ch}\,b + \mathrm{sh}\,a\,\mathrm{sh}\,b \\
\mathrm{sh}(a+b) &= \mathrm{sh}\,a\,\mathrm{ch}\,b + \mathrm{ch}\,a\,\mathrm{sh}\,b \\
\mathrm{th}(a+b) &= \frac{\mathrm{th}\,a + \mathrm{th}\,b}{1 + \mathrm{th}\,a\,\mathrm{th}\,b}
\end{align*}
Avec les signes correspondants pour les différences.

$\textbf{9. Formules de duplication}$
\(
\mathrm{ch}(2x) = \mathrm{ch}^2x + \mathrm{sh}^2x\)\( = 2\mathrm{ch}^2x-1 = 1+2\mathrm{sh}^2x
\)

\(
\mathrm{sh}(2x) = 2\,\mathrm{sh}\,x\,\mathrm{ch}\,x,\)
\(\mathrm{th}(2x) = \frac{2\,\mathrm{th}\,x}{1+\mathrm{th}^2x}
\)

$\textbf{10. Linéarisation}$
$\textbf{(abaissement de puissance)}$
\(
\mathrm{ch}^2x = \frac{\mathrm{ch}(2x)+1}{2},\)
\(\mathrm{sh}^2x = \frac{\mathrm{ch}(2x)-1}{2},\)
\(\mathrm{th}^2x = \frac{\mathrm{ch}(2x)-1}{\mathrm{ch}(2x)+1}
\)

$\textbf{11. Factorisation}$
\(
\mathrm{ch}\,p + \mathrm{ch}\,q = 2\,\mathrm{ch}\frac{p+q}{2}\,\mathrm{ch}\frac{p-q}{2},\)\(
\mathrm{ch}\,p - \mathrm{ch}\,q = 2\,\mathrm{sh}\frac{p+q}{2}\,\mathrm{sh}\frac{p-q}{2}
\)

\(
\mathrm{sh}\,p + \mathrm{sh}\,q = 2\,\mathrm{sh}\frac{p+q}{2}\,\mathrm{ch}\frac{p-q}{2},\)\(
\mathrm{sh}\,p - \mathrm{sh}\,q = 2\,\mathrm{ch}\frac{p+q}{2}\,\mathrm{sh}\frac{p-q}{2}
\)

12. Paramétrisation de l’hyperbole
La branche droite de l’hyperbole $x^2-y^2=1$ est paramétrée par $x=\mathrm{ch}\,t$, $y=\mathrm{sh}\,t$ ($t\in\mathbb{R}$).

13. Fonctions hyperboliques inverses

$\bullet$ $\operatorname{Argsh}$ (inverse de $\mathrm{sh}$) :
\(
\operatorname{Argsh}x = \ln\!\bigl(x+\sqrt{x^2+1}\bigr),\)

\((\operatorname{Argsh}x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\quad (x\in\mathbb{R}).
\)

$\bullet$ $\operatorname{Argch}$ (inverse de $\mathrm{ch}$ restreint à $\mathbb{R}^+$) :
\(
\operatorname{Argch}x = \ln\!\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr),\)\(

(\operatorname{Argch}x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\quad (x>1).
\)

$\bullet$ $\operatorname{Argth}$ (inverse de $\mathrm{th}$) :
\(
\operatorname{Argth}x = \frac12\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right),\)
\(
(\operatorname{Argth}x)' = \frac{1}{1-x^2}\quad (|x| \text{ less than 1}).
\)

$\bullet$ $\operatorname{Argcoth}$ (inverse de $\mathrm{coth}$) :
\(
\operatorname{Argcoth}x = \frac12\ln\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right),\)
\(
(\operatorname{Argcoth}x)' = \frac{1}{1-x^2}\quad (|x|>1).
\)

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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