Intégrales simples

Les intégrales simples concernent le calcul de l’intégrale définie ou indéfinie de fonctions usuelles. Elles permettent de déterminer des aires sous des courbes, des primitives et des relations entre fonctions.

Calcul intégral — Résumé

I. Primitives

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle \emph{primitive} de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x) = f(x)$.

Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives sont de la forme $F(x) + k$, $k \in \mathbb{R}$. Il existe une unique primitive vérifiant $F(x_0) = y_0$.

Tableau des primitives usuelles

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
f(x) & F(x) & \text{Conditions} \\
\hline
a & ax & \mathbb{R} \\
x^n & \dfrac{x^{n+1}}{n+1} & \mathbb{R} \text{ si } n>0\\
& & \mathbb{R}^* \text{ si } n \text{ est négatif } \\
\hline
\dfrac{1}{x^2} & -\dfrac{1}{x} & \mathbb{R}^* \\
\hline
\dfrac{1}{\sqrt{x}} & 2\sqrt{x} & \mathbb{R}^*_+ \\
\hline
\cos x & \sin x & \mathbb{R} \\
\hline
\sin x & -\cos x & \mathbb{R} \\
\hline
e^x & e^x & \mathbb{R} \\
\hline
\dfrac{1}{x} & \ln x & \mathbb{R}^*_+ \\
\hline
\end{array}
\]

Opérations sur les primitives (forme $u' \cdot \varphi(u)$)

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Forme} & \text{Primitive} \\
\hline
u' u^n & \dfrac{u^{n+1}}{n+1} \\
\hline
\dfrac{u'}{u^n} & -\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}} \\
\hline
\dfrac{u'}{\sqrt{u}} & 2\sqrt{u} \\
\hline
u' \cos u & \sin u \\
\hline
u' \sin u & -\cos u \\
\hline
u' e^u & e^u \\
\hline
\dfrac{u'}{u} & \ln u \\
\hline
\end{array}
\]

II. Intégrale d'une fonction

On appelle \emph{intégrale} de $f$ sur $[a;b]$ le réel :
$$\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)$$
où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$. Ce résultat est indépendant du choix de $F$.

III. Interprétation graphique — Calcul d'aire

Si $f \geq 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire (en u.a.) du domaine entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$.

Si $f \leq 0$, l'aire vaut $\displaystyle\mathcal{A} = \int_a^b [-f(x)]\,dx$.

Si $f$ change de signe, on découpe $[a;b]$ en sous-intervalles de signe constant :
$$\mathcal{A} = \int_{a}^{c}[-f(x)]\,dx + \int_{c}^{b}[f(x)]\,dx$$
$\text{(si } f\leq 0 \text{ sur } [a,c],\ f\geq 0 \text{ sur } [c,b]\text{)}$

IV. Propriétés de l'intégrale

$\textit{Relation de Chasles :}$ pour $c \in [a;b]$,
$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$
$\textit{Linéarité :}$
$\int_a^b [f(x)+g(x)]\,dx =$ $\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx, $

$\int_a^b \lambda f(x)\,dx =$ $ \lambda\int_a^b f(x)\,dx$

$\textit{Inégalités :}$ si $f \leq g$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leq \int_a^b g$. De plus,
$\displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx$.

$\textit{Inégalité de la moyenne :}$ si $m \leq f(x) \leq M$ sur $[a;b]$, alors
$$m(b-a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b-a)$$
$\textit{Valeur moyenne :}$
$$\mu_f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
$\textit{Inégalité des accroissements finis :}$ si $m \leq f'(x) \leq M$ sur $[a;b]$, alors
$$m(b-a) \leq f(b)-f(a) \leq M(b-a)$$

V. Méthodes de calcul

$\textit{Intégration par parties :}$
$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx =$ $ \bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$

$\textit{Changement de variable}$ $x \to x+\beta$ :
$$\int_a^b f(x+\beta)\,dx = \int_{a+\beta}^{b+\beta} f(t)\,dt$$
Changement de variable $x \to \alpha x$ ($\alpha \neq 0$) :
$$\int_a^b f(\alpha x)\,dx = \frac{1}{\alpha}\int_{\alpha a}^{\alpha b} f(t)\,dt$$
Changement de variable général $x \to \varphi(t)$ :
$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx = \int_a^b f[\varphi(t)]\,\varphi'(t)\,dt$$

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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