Intégrales multiples

Les intégrales multiples généralisent l’intégration aux fonctions de plusieurs variables. Elles permettent de calculer aires, volumes, masses, centres de gravité, etc. Les intégrales sont généralement itérées : on intègre successivement par rapport à chaque variable.

Rappel : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx $ = $\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^n f(a_i)(x_i - x_{i-1})$, $a_i \in [x_{i-1}, x_i]$.

I. Intégrales doubles

1. Principe sur un rectangle

Soit $f$ continue sur $D = [a,b]\times[c,d] \subset \mathbb{R}^2$. On définit :
$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =$ $ \lim_{n\to+\infty} \frac{(b-a)(d-c)}{n^2}\times$ $
\sum_{1\leq i,j\leq n} f\!\left(a+i\frac{b-a}{n},\, c+j\frac{d-c}{n}\right)$

2. Propriétés

Linéarité : $\displaystyle\iint_D (\alpha f + \mu g)\,dx\,dy =$ $\alpha\iint_D f\,dx\,dy + \mu\iint_D g\,dx\,dy$

Additivité : si $D \cap D' = \varnothing$ (ou courbe/points isolés), alors
$\displaystyle\iint_{D\cup D'} f\,dx\,dy =$ $ \iint_D f\,dx\,dy + \iint_{D'} f\,dx\,dy$

Positivité : $f \geq 0$ sur $D \Rightarrow \iint_D f\,dx\,dy \geq 0$.
Inégalité : $f \leq g \Rightarrow \iint_D f \leq \iint_D g$.
$\left|\iint_D f\,dx\,dy\right| \leq \iint_D |f|\,dx\,dy$.

3. Formules de Fubini

Sur un rectangle $D = [a,b]\times[c,d]$ :
$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =$ $ \int_a^b\!\left[\int_c^d f(x,y)\,dy\right]dx =$ $ \int_c^d\!\left[\int_a^b f(x,y)\,dx\right]dy$

Sur un domaine quelconque borné, deux cas :
$D =$ $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f_1(x)\leq y \leq f_2(x),\; a\leq x\leq b\}$ $\Rightarrow$ $\iint_D f\,dx\,dy =$ $ \int_a^b\!\left[\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} f(x,y)\,dy\right]dx$.

$D =$ $ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid g_1(y)\leq x \leq g_2(y),$ $ c\leq y\leq d\}$ $\Rightarrow$ $\iint_D f\,dx\,dy $ = $\int_c^d\!\left[\int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\,dx\right]dy$

Cas particulier (variables séparables) : si $f(x,y)=g(x)h(y)$,
$\iint_{[a,b]\times[c,d]} g(x)h(y)\,dx\,dy =$ $ \left(\int_a^b g(x)\,dx\right)\!\left(\int_c^d h(y)\,dy\right)$

4. Changement de variable — Jacobien

La matrice jacobienne de $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p$ est :
$$J_\varphi = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial\varphi_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial\varphi_1}{\partial x_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial\varphi_p}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial\varphi_p}{\partial x_n} \end{pmatrix}$$
Si $(u,v)\mapsto(x,y)=\varphi(u,v)$ est une bijection $C^1$ de $\Delta$ sur $D$ :
$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy =$ $ \iint_\Delta f\circ\varphi(u,v)\,|J_\varphi(u,v)|\,du\,dv$

Coordonnées polaires : $x = r\cos\theta,\; y = r\sin\theta$, jacobien $= r$, donc :
$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy = \iint_\Delta g(r,\theta)\,r\,dr\,d\theta$$

5. Applications

Aire d'un domaine $D$ : $A = \displaystyle\iint_D dx\,dy$

Aire d'une surface $\Sigma$ (graphe de $f$ au-dessus de $D$) :
$A =$ $ \iint_D \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 + 1}\;dx\,dy$

Masse et centre d'inertie d'une plaque $\Delta$ de densité $\rho(x,y)$ :
\[M = \iint_\Delta \rho\,dx\,dy, \] \[ x_G = \frac{1}{M}\iint_\Delta x\rho\,dx\,dy, \] \[ y_G = \frac{1}{M}\iint_\Delta y\rho\,dx\,dy\]
Moments d'inertie : $I_x = \iint_D y^2\rho\,dx\,dy$, $I_y = \iint_D x^2\rho\,dx\,dy$, $I_O = \iint_D (x^2+y^2)\rho\,dx\,dy$.

II. Intégrale triple

Soit $f(x,y,z)$ continue sur un domaine $D\subset\mathbb{R}^3$. On définit $\iiint_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$ comme limite de sommes de Riemann. Mêmes propriétés algébriques qu'en double.

1. Fubini sur un parallélépipède $D=[a,b]\times[c,d]\times[e,f]$

$$\iiint_D f\,dx\,dy\,dz =$$ $$\int_a^b\!\left[\int_c^d\!\left[\int_e^f f(x,y,z)\,dz\right]dy\right]dx = \cdots$$
Sur un domaine quelconque borné :
$$I = $$ $$\int_{x_{min}}^{x_{max}}\!\left[\int_{y_{min}}^{y_{max}}\!\left[\int_{z_{min}}^{z_{max}} f(x,y,z)\,dz\right]dy\right]dx$$

2. Changement de variables

Si $(u,v,w)\mapsto(x,y,z)=\varphi(u,v,w)$ est bijective $C^1$ :

$\iiint_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz =$ $ \iiint_\Delta f\circ\varphi(u,v,w)\,|J_\varphi(u,v,w)|\,du\,dv\,dw$

Coordonnées cylindriques : $x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z$, jacobien $= r$ :
$$\iiint_D f\,dx\,dy\,dz = $$ $$ \iiint_\Delta g(r,\theta,z)\,r\,dr\,d\theta\,dz$$
Coordonnées sphériques : $x=r\sin\theta\cos\varphi,$ $y=r\sin\theta\sin\varphi,$ $z=r\cos\theta$, jacobien $= r^2\sin\theta$ :
\[\iiint_D f\,dx\,dy\,dz =\] \[ \iiint_\Delta g(r,\theta,\varphi)\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi\]

3. Applications

Volume : $V = \iiint_D dx\,dy\,dz$

Masse et centre d'inertie d'un solide $V$ de densité $\mu(x,y,z)$ :
$$M = \iiint_V \mu\,dx\,dy\,dz, $$ $$x_G = \frac{1}{M}\iiint_V x\mu\,dV, $$ $$ y_G = \frac{1}{M}\iiint_V y\mu\,dV,$$ $$ z_G = \frac{1}{M}\iiint_V z\mu\,dV$$
Moments d'inertie :
$$I_x = \iiint_V (y^2+z^2)\mu\,dV, $$ $$ I_y = \iiint_V (x^2+z^2)\mu\,dV, $$ $$ I_z = \iiint_V (x^2+y^2)\mu\,dV$$

Complément : Surfaces usuelles de $\mathbb{R}^3$

Sphère : $ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2$ $=R^2$

Ellipsoïde : $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}$ $=1$

Cône : $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} $ $=\dfrac{z^2}{c^2} $

Paraboloïde elliptique : $ z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} $

Paraboloïde hyperbolique : $z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} $

Hyperboloïde à une nappe : $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}$ $=1 $

Hyperboloïde à deux nappes : $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}+1 $ $=0$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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