Equations différentielles

Voici une série de trois exercices sur les équations différentielles.

Exercice 1 :
On considère $y$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, de la variable $x$, dérivable sur $\mathbb{R}$, vérifiant l'équation différentielle $(E)$ :
$$9y''(x) - y(x) = 4.$$
1. Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $9y''(x) - y(x) = 0$
2. Déterminer la solution particulière $h$ de $(E)$ sous la forme d'une constante.
3. En déduire les solutions générales de $(E)$.
4. Déterminer la fonction $y$ solution de $(E)$ vérifiant $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$.

Exercice 2 :
On considère $y$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, de la variable $t$, dérivable sur $\mathbb{R}$, vérifiant l'équation différentielle $(E)$ :
$$y''(t) + 2y'(t) = (4 + 3t)e^t.$$
1. Résoudre l'équation différentielle : $y''(t) + 2y'(t) = 0 \quad (E')$
2. Déterminer le réel $A$ tel que $f(t) = Ate^t$ soit une solution particulière de $(E)$.
3. En déduire les solutions générales de $(E)$.

Exercice 3 :
On considère $x$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, de la variable $t$, dérivable sur $\mathbb{R}$, vérifiant l'équation différentielle $(E)$ :
$$x''(t) + 4x(t) = -6\sin(t).$$
1. Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $x''(t) + 4x(t) = 0$
2. Déterminer les réels $A$ et $B$ tels que la solution particulière $g$ de $(E)$ s'écrive sous la forme : $g(t) = A\cos(t) + B\sin(t)$
3. En déduire les solutions générales de $(E)$.
4. Déterminer la fonction $x$, solution de $(E)$, vérifiant $x(0) = -1$ et $x'(0) = 0$.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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