Equations différentielles (suite)

Voici un ensemble riche d'exercices avec corrigé sur les équations différentielles:

Exercice 1.
Résoudre \((E) : y'' - 6y' + 9y = e^{-t}\).

Exercice 2.
Résoudre \((E) : y'' + y' - 2y = 9e^{-x} - 2\) avec les conditions initiales \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\).

Exercice 3.
Résoudre \(y'' - y' - 2y = \cos t\).

Exercice 4.
Résoudre \((E) : y'' + y = (5t-7)e^{-t}\cos t\).

Exercice 5.
Résoudre, sur \(\mathbb{R}\), l'équation différentielle
\[
y'' + y = \sin \omega x
\]
en fonction du paramètre \(\omega \in \mathbb{R}\).

Exercice 6.
Donner l’ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :
1. \(y'(x) - 4y(x) = 3\) pour \(x \in \mathbb{R}\)
2. \(y'(x) + y(x) = 2e^x\) pour \(x \in \mathbb{R}\)
3. \(y'(x) - \tan(x)\, y(x) = \sin(x)\) pour \(x \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\)
4. \(y'(x) = \dfrac{y(x)}{x} + x\) pour \(x \in \mathbb{R}_+^*\)
5. \((x^2+1)y'(x) + x\,y(x) = 0\) pour \(x \in \mathbb{R}\)

Exercice 7.
Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :
1. \(y'(x) - 2y(x) = 4\), \(y(0)=0\), \(x\in\mathbb{R}\)
2. \(y'(x) = \dfrac{y(x)+1}{x}\), \(y(1)=0\), \(x>0\)
3. \(y'(x) - 2y(x) = 2x\), \(y(0)=\dfrac14\), \(x\in\mathbb{R}\)
4. \(x^2 y'(x) - (2x-1)y(x) = x^2\), \(y(1)=1\), \(x>0\)
5. \((x+1)y'(x) - x\,y(x) + 1 = 0\), \(y(0)=2\), \(x>-1\)

Exercice 8.
Soit \(\lambda\) un réel non nul. On s’intéresse aux solutions de l’équation différentielle
\[
y'(x) - \lambda y(x) = f(x)
\]
avec \(f(x)\) une fonction particulière.
Déterminer l’expression de la solution générale lorsque :
1. \(f(x) = a\) avec \(a \in \mathbb{R}^*\)
2. \(f(x) = \alpha e^{\omega x}\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}^*\) et \(\omega \in \mathbb{R}^*\)
3. \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \in \mathbb{R}^*\), \(b,c \in \mathbb{R}\)

Exercice 9.
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. \(y''(x) - 5y'(x) + 6y(x) = 0\)
2. \(y''(x) - y'(x) = 0\)
3. \(y''(x) + 4y'(x) + 4y(x) = 0\)
4. \(y''(x) + 4y'(x) + 13y(x) = 0\)

Exercice 10.
Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :
1. \(y''(x) - 5y'(x) + 4y(x) = 0\), \(y(0)=5\), \(y'(0)=8\)
2. \(y''(x) + 4y(x) = 0\), \(y(0)=0\), \(y'(0)=2\)
3. \(y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 0\), \(y(0)=1\), \(y'(0)=0\)
4. \(y''(x) + 3y'(x) = 0\), \(y(0)=0\), \(y(1)=1\)

Exercice 11.
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1. \(y''(x) - 3y'(x) + 2y(x) = 4x^2\)
2. \(y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 4x e^x\)
3. \(y''(x) + y(x) = \cos(x)\)

Exercice 12.
On considère l’équation différentielle
\[
|x|\,y'(x) + (x-1)y(x) = x^3.
\]
1. Donner l’ensemble des solutions de l’équation précédente pour \(x \in ]0, +\infty[.\)
2. Donner l’ensemble des solutions de l’équation précédente pour \(x \in ]-\infty, 0[.\)

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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