Séries numériques

Voici un ensemble de 12 exercices sur les séries numériques. Ils seront très utiles pour la compréhension des séries de Fourier.

Exercice 1.
Soient \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) deux séries à termes strictement positifs vérifiant :
\[
\exists n_0 \in \mathbb{N} : \quad \forall n \geq n_0, \quad \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{b_{n+1}}{b_n}.
\]
Montrer que
1. si \(\sum b_n\) converge, alors \(\sum a_n\) converge ;
2. si \(\sum a_n\) diverge, alors \(\sum b_n\) diverge.

Exercice 2.
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels. On étudie la série \(\sum_{n\geq 1} u_n\) avec
\[
u_n = \frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}.
\]
3. On étudie maintenant le cas \(\alpha = 1\).
a) Soit \(f_\beta : ]1,\infty[ \to \mathbb{R}\) la fonction définie par
\[
f_\beta(t) = \frac{1}{t(\ln t)^\beta}.
\]
Montrer qu'il existe \(n_0 \in \mathbb{N}\) tel que \(f_\beta\) soit décroissante sur \(]n_0,\infty[\).
b) On suppose \(\beta = 1\). Montrer, par comparaison avec une intégrale, que la série diverge.
c) On suppose \(\beta > 1\). Montrer, par comparaison avec une intégrale, que la série converge.
d) Étudier le cas \(\beta < 1\).

Exercice 4.
Étudier la nature des séries suivantes :
\[
\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n!},\quad
\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^n},\]
\[\sum_{n \geq 1} \frac{n!}{n^n},\quad
\sum_{n \geq 1} \frac{n^n}{(2n)!}.
\]

Exercice 5.
Soient \(a \in \mathbb{R}\) et \(\alpha \in \mathbb{R}_+\). Étudier selon les valeurs de \(a\), la nature des séries suivantes :
\[
\sum_{n \geq 1} \frac{a^n}{n!},\quad
\sum_{n \geq 1} \frac{a^n}{n^n}.
\]

Exercice 6.
1. Montrer que la série de terme général \(u_n = n^{-1} + \ln n - \ln(n+1)\) est convergente.
2. En déduire que la suite
\[
a_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n
\]
admet une limite \( l \). Cette limite s'appelle la constante d'Euler.

Exercice 7.
Étudier la nature des séries suivantes :
\[
\sum_{n \geq 1} \left( n \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) - \frac{2n}{2n+1} \right),\]
\[\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n \ln n!},\]
\[\sum_{n \geq 2} \frac{n}{(\ln n!)^2},\quad
\sum_{n \geq 1} \frac{(n!)^c}{(2n)!} \text{ avec } c > 0.
\]

Exercice 8.
Étudier la nature des séries suivantes :
\[
\sum_{n \geq 2} \frac{(-1)^n}{n^2 + (-1)^n},\quad
\sum_{n \geq 1} \frac{1 + (-1)^n \sqrt{n}}{n},\]
\[\sum_{n \geq 2} (-1)^n \sqrt{n} \ln \left( \frac{n+1}{n-1} \right).
\]

Exercice 9.
Étudier la nature des séries suivantes :
\[
\sum_{n \geq 2} \ln \left( 1 + \frac{(-1)^n}{n} \right),\]
\[\sum_{n \geq 1} \sin \left( \frac{(-1)^n}{n} \right).
\]

Exercice 10.
Montrer que les séries de termes généraux
\[
u_n := \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \text{ et } v_n := \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n}
\]
ne sont pas de même nature, bien que \(u_n \sim v_n\).

Exercice 11.
Soient \(a, b \in \mathbb{R}_+^*\). Étudier la série de terme général
\[
u_n := \frac{a^n 2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}} + b^n}.
\]

Exercice 12.
Montrer que la série \(\sum_{n\in\mathbb{N}} u_n\) avec
\[
u_n := \ln \left( \cos \frac{1}{2^n} \right)
\]
est convergente et calculer sa somme. Indication : on utilisera la formule de trigonométrie
\[
\sin\left(\frac{1}{2^{n-1}}\right) =\]
\[
2\sin\left(\frac{1}{2^n}\right)\cos\left(\frac{1}{2^n}\right).
\]

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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