Développement limité (3)

Exercice 8.
Calculer :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - 2x}{x^3}
\]

$\texttt{Correction Exercice 8}.$
\[
\sin(2x)=2x - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3)\]
\[= 2x - \frac{4x^3}{3} + o(x^3)
\]
Donc :
\[
\frac{\sin(2x)-2x}{x^3} \to -\frac{4}{3}
\]

Exercice 9.
Déterminer un équivalent de :
\[
1 - \cos x
\quad \text{lorsque } x \to 0
\]

$\texttt{Correction Exercice 9}.$
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
Donc :
\[
1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}
\]

Exercice 10.
Calculer :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}
\]

$\texttt{Correction Exercice 10}.$
\[
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
\]
Donc :
\[
\frac{\tan x - x}{x^3} \to \frac{1}{3}
\]

Exercice 11.
Étudier la limite :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^2}
\]

$\texttt{Correction Exercice 11}.$
\[
\ln(1+x)=x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\]
Donc :
\[
\ln(1+x) - \sin x = -\frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
\[
\Rightarrow \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^2} \to -\frac{1}{2}
\]

Exercice 12.
Calculer :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1 - 2x}{x^2}
\]

$\texttt{Correction Exercice 12}.$
\[
e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + o(x^2)
\]
Donc :
\[
\frac{e^{2x} -1 -2x}{x^2} \to 2
\]

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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