Développement limité (4)

Vous avec ici la suite des exercices sur le développement limité, comme enseigné dans les programmes du Brevet des Techniciens Supérieurs - BTS Cameroun.

Exercice 13.
Calculer :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x} - 1 - x}{x^2}
\]

$\texttt{Correction Exercice 13}$.
\[
\sqrt{1+2x} = 1 + x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
Donc :
\[
\frac{\sqrt{1+2x} -1 -x}{x^2} \to -\frac{1}{2}
\]

Exercice 14.
Déterminer un équivalent simple de :
\[
e^x - \sqrt{1+x}
\quad \text{lorsque } x \to 0
\]

$\texttt{Correction Exercice 14}$.
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
\[
\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)
\]
Donc :
\[
e^x - \sqrt{1+x} = \frac{x}{2} + \frac{5x^2}{8} + o(x^2)
\]
Ainsi :
\[
e^x - \sqrt{1+x} \sim \frac{x}{2}
\]

Exercice 15.
Calculer :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x) - 2\ln(1+x)}{x^2}
\]

$\texttt{Correction Exercice 15}$.
\[
\ln(1+2x)=2x - 2x^2 + o(x^2)
\]
\[
\ln(1+x)=x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
Donc :
\[
2\ln(1+x)=2x - x^2 + o(x^2)
\]

Ainsi :
\[
\ln(1+2x) - 2\ln(1+x) = -x^2 + o(x^2)
\]
\[
\Rightarrow \frac{\ln(1+2x) - 2\ln(1+x)}{x^2} \to -1
\]

Exercice 16.
Étudier la limite :
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - \sin x}{x^2}
\]

$\texttt{Correction Exercice 16}$.
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
\]
Donc :
\[
e^x - 1 - \sin x = \frac{x^2}{2} + o(x^2)
\]
\[
\Rightarrow \frac{e^x -1 - \sin x}{x^2} \to \frac{1}{2}
\]

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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