Intégrales multiples

Ceci est un ensemble de neuf exercices avec corrigé sur les intégrales multiples.

Intégrales curvilignes, intégrales multiples.

Exercice 1.
Calculer l'intégrale de la forme différentielle \(\omega\) le long du contour orienté \(C\) dans les cas suivants :
$\circ$ \( \omega = \frac{x}{x^2+y^2}\,dx + \frac{y}{x^2+y^2}\,dy\) et \(C\) est l'arc de la parabole d'équation \(y^2 = 2x + 1\) joignant les points \((0,-1)\) et \((0,1)\) parcouru une fois dans le sens des \(y\) croissants.
$\circ$ \(\omega = (x-y^3)\,dx + x^3\,dy\) et \(C\) est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) parcouru une fois dans le sens direct.
$\circ$ \(\omega = xyz\,dx\) et \(C\) est l'arc \(x = \cos t,\; y = \sin t,\; z = \cos t\,\sin t\), \(t\) variant en croissant de \(0\) à \(\pi\).

Exercice 2.
Soit \(\omega = x^2\,dx + y^2\,dy\). Calculer l'intégrale de \(\omega\) le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Même question avec \(\omega = y^2\,dx + x^2\,dy\).

Exercice 3.
Calculer les intégrales multiples suivantes :
$\circ$ \( I = \iint_D (x+y)\,dxdy\) où
\(D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid\)
\( x\le 1,\; y\le 1,\; x+y\ge 1\}\).
$\circ$ \( I = \iint_{[-1,1]^2} |x+y|\,dxdy\).
$\circ$ \( I = \iint_D xy\,dxdy\) où \(D\) est la partie du plan limitée par les paraboles d'équations respectives \(y=x^2\) et \(x=y^2\).
$\circ$ \( I = \iint_{x^2+y^2\le 1} \frac{1}{1+x^2+y^2}\,dxdy\).
$\circ$ \( I = \iint_{x\le x^2+y^2\le 1} \frac{1}{(1+x^2+y^2)^2}\,dxdy\).
$\circ$ \( I = \iiint_{0\le x\le y\le z\le 1} xyz\,dxdydz\).
$\circ$ \( I = \iiint_{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le 1} z\,dxdydz\).

Exercices de Jean-Louis Rouget

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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