Séries de Fourier

Sept exercices compilés sur les séries de Fourier. Le corrigé se trouve sur un autre fichier PDF.

Exercice 1.
Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonction $2\pi$-périodique $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(x) = \pi - |x|$ sur $]-\pi, \pi]$. La série converge-t-elle vers $f$ ?

Exercice 2.
Calculer la série de Fourier, sous forme trigonométrique, de la fonction $2\pi$-périodique $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(x) = x^2$ sur $[0, 2\pi[$. La série converge-t-elle vers $f$ ?

Exercice 3.
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction $2\pi$-périodique, impaire, telle que
\[
f(x) = \begin{cases}
1 & \text{si } x \in ]0, \pi[ \\
0 & \text{si } x = \pi.
\end{cases}
\]
$\circ$ Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de $f$.
$\circ$ Étudier la convergence (simple, uniforme) de la série de Fourier de $f$.
$\circ$ En déduire les valeurs des sommes
\[
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1},\quad
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2},\]
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2},\quad
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}.
\]

Exercice 4.
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction $2\pi$-périodique telle que $f(x) = e^x$ pour tout $x \in ]-\pi, \pi[$.
$\circ$ Calculer les coefficients de Fourier exponentielle de la fonction $f$.
$\circ$ Étudier la convergence (simple, uniforme) de la série de Fourier de $f$.
$\circ$ En déduire les valeurs des sommes
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2 + 1},\quad
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}.
\]

Exercice 5.
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction $2\pi$-périodique définie par
\[
f(x) = (x - \pi)^2,\quad x \in [0, 2\pi[.
\]
$\circ$ Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de $f$.
$\circ$ Étudier la convergence de la série de Fourier de $f$.
$\circ$ En déduire les sommes des séries
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2},\quad
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.
\]

Exercice 6.
\[
x'(t) + \alpha x(t) = f(t).
\]
Trouver une solution $2\pi$-périodique de cette équation en écrivant $x(t)$ et $f(t)$ sous la forme de séries de Fourier trigonométrique. Appliquer ce résultat au cas où $\alpha = 1$ et
\[
f(t) = \begin{cases}
\left(t - \frac{\pi}{2}\right)^2 & \text{si } t \in [0, \pi[,\\[4pt]
-\left(t - \frac{3\pi}{2}\right)^2 + \frac{\pi^2}{2} & \text{si } t \in [\pi, 2\pi[.
\end{cases}
\]

Exercice 7 (Théorème de Féjer)
On note $\mathcal{C}(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$ l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ et $2\pi$-périodiques. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f_1, f_2 \in \mathcal{C}(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$ par
\[
(f_1 \circledast f_2)(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f_1(x-y)f_2(y) \, \mathrm{d}y.
\]
Pour tout $k \in \mathbb{R}^*$, soit $\phi_k : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ la fonction définie par
\[
\phi_k(x) = \frac{1}{k} \sum_{l=0}^{k-1} \sum_{m=-l}^{l} e^{imx}.
\]
$\circ$ Montrer que
\[
\phi_k(x) = \begin{cases}
\displaystyle \frac{1}{k} \frac{1 - \cos kx}{1 - \cos x} & \text{si } x \notin 2\pi\mathbb{Z},\\[6pt]
k & \text{si } x \in 2\pi\mathbb{Z}.
\end{cases}
\]
$\circ$ Montrer que $\phi_k$ satisfait les propriétés suivantes :
$\circ$ pour tout $k$, $\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \phi_k(x) \, dx = 1$;
$\circ$ pour tout $\varepsilon \in ]0, \pi[$, $\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{|x| \in [\varepsilon,\pi]} \phi_k(x) \, dx \to 0$ lorsque $k \to \infty$.
En déduire que, si $f \in \mathcal{C}(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$, alors $f \circledast \phi_k$ converge vers $f$ uniformément sur $\mathbb{R}$.
$\circ$ Calculer $f \circledast \phi_k$. Conclure.

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Pour plus de détails, consulter le PDF ci-joint.

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