BTS_TQG_CGE_BQ_2021

REPUBLIQUE DU CAMEROUN Paix- Travail- Patrie

REPUBLIC OF CAMEROON Peace- Work- Fatherland

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

MINISTRY OF HIGHER EDUCATION

COMMISSION NATIONALE DE ORGANISATION DE L'EXAMEN

NATIONAL COMMISSION FOR THE ORGANISATION OF

NATIONAL DU BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR (BTS)

BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR (BTS) EXAM

Examen National du Brevet de Technicien Superieur – Session de Avril- Juin 2021

Spécialité/option : AS, BAF, CGE, STA

Épreuve : Techniques Quantitatives de Gestion

Durée : 4 heures

Crédit: 5/8/8/3

1ère PARTIE : MATHÉMATIQUES GENERALES (04 points)

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé en milliers de francs pour la vente de \(x\) centaines d'appareils par la fonction définie sur l'intervalle \([0, +\infty[\) par :

\[
f(x) = -2x + (e^{2} - 1)\ln x + 2
\]

1) Calculer \(f(1)\) et \(f(e^{2})\). (0,25pt)

2) Étudier les variations de la fonction \(f\). (1pt)

3) Tracer \((C)\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère. (0,5pt)

4) Déterminer le nombre d'appareils que l'entreprise doit vendre pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice. (0,75pt)

5) Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul. (0,75pt)

6) Démontrer que la fonction \(F\) définie sur l'intervalle \([0, +\infty[\) par :

\[
F(x) = -x^{2} + (3 - e^{2})x + (e^{2} - 1)x\ln x + 2
\]

est une primitive de \(f\). (0,75pt)

2ème PARTIE : MATHÉMATIQUES FINANCIERES (04 points)

Un entrepreneur doit encaisser le 15 Janvier 2010 une créance de 10 000 000 F. Le 15 Janvier 1994, il vend son titre de créance contre une somme payable au comptant et représentant la valeur actuelle, à intérêt composé, et au taux annuel de \(9\%\) de la créance qu'il devait encaisser le 15 Janvier 2010. La somme ainsi obtenue est investie immédiatement dans un placement à intérêt composé à \(10\%\) l'an jusqu'au 15 Janvier 2010.

1) Quel capital l'entrepreneur obtiendra-t-il le 15 Janvier 2010 ? (1pt)

2) Déterminer à quelle date il disposerait de 10 000 000 de francs ? (1pt)

3) Quel prélèvement pourrait-il effectuer sur la somme encaissée le 15 Janvier 1994 pour que le solde, placé dans les conditions indiquées, lui procure 10 000 000 de francs le 15 Janvier 2010 ? (1pt)

4) En utilisant les résultats des trois questions précédentes, apprécier l'opportunité de l'opération effectuée le 15 Janvier 1994. (1pt)

3ème PARTIE : STATISTIQUES (04 points)

Une entreprise étudie l'évolution de son chiffre d'affaires. Celui-ci est donné en kilofrancs (KF) par le tableau suivant :

Années	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
Rang \(X_i\)	0	1	2	3	4	5	6
Chiffre d'affaires \(Y_i\)	400	432	472	508	552	596	652

1) Représenter graphiquement le nuage de points dans un repère dont l'origine correspond au couple (0 ; 400). On prendra 2 cm pour une année et 1 mm pour 4 KF. (1pt)

2) L'entreprise veut faire des prévisions pour les années 1998 et 1999. Pour cela, elle envisage un modèle exponentiel \(Y = \alpha \beta^{X}\). Il s'agit de trouver \(\beta\) et \(\alpha\) pour que la fonction précédente représente « au mieux » les valeurs observées. À cet effet, on pose \(U_{i} = \ln Y_{i}\).

a) Donner le tableau de correspondance entre les \(X_{i}\) et les \(U_{i}\) en arrondissant les valeurs de \(U_{i}\) au millième. (0,75pt)

b) Déterminer l'équation de la droite de régression de \(U\) en \(X\). (1pt)

c) Déduire de cette équation une relation de la forme \(Y = \alpha \beta^{X}\). Calculer le coefficient de corrélation. (0,75pt)

3) En utilisant cette relation, donner une estimation pour les chiffres d'affaires de 1998 et 1999. (0,5pt)

4ème PARTIE : Recherche Opérationnelle

Une société consomme annuellement 30 000 unités d'une matière ; le coût de lancement est de 600 F par commande et le taux de possession est de \(4\%\). Le prix d'achat d'une unité de cette matière s'élève à 4 F. Le fournisseur de cette matière applique le tarif suivant :

• \(Q < 5000\) unités : \(P = 3,90\,\text{F}\)


• \(5000 \le Q < 10000\) unités : \(P = 3,50\,\text{F}\)


• \(10000 \le Q < 15000\) unités : \(P = 3,45\,\text{F}\)


• \(Q > 15000\) unités : \(P = 3\,\text{F}\)

1. Calculer : la quantité optimale à commander et le nombre de commandes à effectuer.

2. Déterminer la tranche à choisir par cette société pour un meilleur approvisionnement.

5ème PARTIE : Probabilités (4 pts)

Lors d'un salon de l'artisanat, un artisan a un stand où il vend des savons de deux formes :

- en cube, au prix unitaire de 80 F ;

- en boule, au prix unitaire de 120 F.

On suppose que :

- les stocks de l'artisan sont suffisants pour satisfaire la demande des acheteurs ;

- les quantités achetées par ces différentes personnes sont indépendantes ;

- le nombre de savons achetés par une personne qui s'arrête au stand est :

  pour les cubes, une variable aléatoire de Poisson de paramètre 2, notée \(X\) ;

  pour les boules, une variable aléatoire de Poisson de paramètre 1, notée \(Y\) ;

  \(X\) et \(Y\) sont indépendants.

Travail à faire :

1. Calculer les pourcentages respectifs des personnes qui, parmi celles qui s'arrêtent au stand :

- n'achètent rien ;

- achètent uniquement du savon en cube ;

- achètent uniquement du savon en boule ;

- achètent du savon en cube et du savon en boule.

On donnera les résultats arrondis à l'unité.